极小化序列_数学术语 - 线报百科mbji.cn

极小化序列

数学术语

极小化序列(minimizing sequences)是指使泛函值的极限为泛函极小值的函数序列。设E是实Banach空间， D⊂E， f是定义在D上的实泛函。若存在{xn} ⊂D，使得：f(xn)→infx∈Df(x)，则称 {xn} 为泛函 f 的极小化序列。

定义

变分学和最优化的中心问题是求定义在Banach空间某一子集D上的泛函的最小值点。下面介绍最小值点的逼近——极小化序列。

定义1 设E是实Banach空间，，是定义在D上的实泛函。若存在，使得

则称为泛函的极小化序列。

相关概念与命题

命题1设是一凸集，是严格凸泛函，则至多存在一点，使

证明：若在D中存在，使得

则，有

此与是最小值点矛盾。证毕。

定理1 设E是实自反Banach空间，实泛函是G-可微、强制和严格凸的，则的任一极小化序列弱收敛于的唯一最小值点，此时最小值点当然也是临界点。

证明：首先由假设知，在整个空间E中有唯一的最小值点，且为的临界点。

再证每一个极小化序列都是有界的：若不然，设无界，于是存在子列。由的强制性，存在及使得当时，恒有因此有

此矛盾证明了的有界性。

然后，由有界，结合E自反知，存在及，使得再考虑到是的最小值点及的弱下半连续性得

所以由严格凸泛函最小值点的唯一性得，于是

最后证若不然，不妨设有子列则有

此与是的唯一最小值点矛盾。证毕。

参考资料

最新修订时间：2023-01-08 17:40

条目作者

概述

定义