极小子流形是一类平均曲率向量为0的子流形。极小子流形是整体微分几何的重要课题。它与微分方程、拓扑学、几何测度论、
复变函数论等数学分支都有紧密的联系，并在理论物理学中有重要应用。
在黎曼流形中平均曲率向量(即它的第二基本型的迹) 为零的子流形称为极小子流形。二维的极小子流形称为
极小曲面。一维极小子流形就是
测地线。
欧几里得空间中子流形是极小的，当且仅当其坐标函数是该子流形上的调和函数。具有非正截面曲率的完备单连通黎曼流形中不存在闭的极小子流形。
极小子流形的几何意义是: 设 是浸入在黎曼流形 中的子流形。如果每一点 都有一个开邻域 U，使得 是紧致的,并且对于 的任意一个有固定边界的变分 （记 ，且 ），体积泛函 （其中 ）都以 为其临界点，则 是浸入在黎曼流形 中的极小子流形。反之亦然。
极小曲面的高维推广是由
李普希茨开始的，他给出了梅斯尼埃关于极小曲面几何解释的推广，并且证明了黎曼流形中的子流形是其体积泛函的临界点当且仅当其平均曲率向量为0。
在近代，极小子流形的研究主要是整体性质以及局部性质与整体性质的关系，其发展非常迅速，出现了很多惊人的重要结果和不少有趣的新问题，尤其是极小超曲面和空间形式的极小子流形理论中更是如此。
另外，极小曲面理论在三维拓扑学中的应用也获得了意外的成功。极小子流形现在已构成
微分几何学的一个极其重要的分支，它与微分几何学的其他分支以及微分方程、拓扑学、几何测度论、复变函数等都有密切联系，并在物理学中有重要应用。