极限函数是高等数学中最基本的概念之一，它是判定函数列一致收敛的一个重要条件.

设

是一列定义在同一数集 上的函数，称为定义在 上的函数列。

设 ，以 代入（1）可得数列

若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点 收敛， 称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点 发散。若函数列（1）在数集 上每一点都收敛，则称（1）在数集 上收敛。这时 上每一点 ，都有数列 的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的 上的函数，称为（1）的极限函数。若把此极限记作 ，则有

或

函数列极限的 定义是：对每一固定的 ，任给正数 ，恒存在正数 （注意：一般说来 值的确定与 和 的值都有关，所以也用 表示它们之间的依赖关系），使得当 时，总有

使函数列 收敛的全体收敛点集合，称为函数列 的收敛域。

例1 设 为定义在 上的函数列，证明它的收敛域是 ，且有极限函数

证 任给 （不妨设 ），当 ，由于

只要取 ，当 时，就有

当 和 时，则对任何正整数 ，都有

这就证得 在 上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。

当 时，则有 ，当 时，对应的数列为

它显然是发散的. 所以函数列 在区间 外都是发散的。

例 2 定义在 上的函数列。 由于对任何实数 ，都有

故对任给的 ，只要 ，就有

所以函数列 的收敛域为无限区间 ，极限函数 。