林群的代表性成果有:对偏微分方程的求解,寻找高性能的有限元算法,包括寻找有限元误差的符号、大小以及后验判断,削减误差的方法(如外推、超收敛)等,最终使得简单元、粗网格也能具有高精度和可靠性。其成果可用于广泛类型的方程,包括一阶、二阶、四阶的偏微分方程,积分方程以及本征值问题等,并进行数值实验。部分成果被应用于核反应堆物理计算和核燃料管理。
林群将有限元分析建立在积分恒等式、最优剖分以及“超收敛形函数”的基础之上,使各种方程各类算法的分析走向统一化、精确化和表格化。建立了包括超收敛、校正和外推在内的高精度算法的系统理论,改变了过去以复杂算法换取高精度的技术路线,给出了以最优剖分获取高精度的技术路线。
林群认为:“性格将最终战胜智力,主观努力是成功关键”,他所说的性格是对学术的热爱,对学术的忠诚度,以及坚决的态度和毅力。除此之外,在他看来,除了天才的大脑外,其实每个人的智力都差不多。所以,他始终坚信:“不管你做什么,学习也好,研究也好,一定要有刨根问底的决心”。
林群受数学家
华罗庚面向生产一线推广
优选法、
统筹法的影响,他也把很多精力花在科普上,一直致力于把难学、难懂的数学理论简化再简化,直至低年级大学生甚至中学生都能读懂为止。
林群是中国在泛函分析、计算数学研究领域内著名的数学家、学科带头人。1970年以后他在对微分方程求解的加速理论的研究中,取得了一系列卓越的成果,形成了系统理论,被中国国内外同行公认为“开创性的工作”,并被列为“当今最有希望的三种加速理论之一”。(河北大学技术转移中心评)