柱在轴向荷载作用下，由于荷载的偶然偏心，柱本身有初始弯曲，材质不均匀等原因，从加载开始时起即发生压缩与弯曲的组合变形,即使材料遵循胡克定律,但柱的横截面上的弯矩以及柱的侧向位移（挠度）均不与荷载成线性关系。

解释说明

柱的性能的理论研究可按两种不同类型的计算简图进行。在第一类简图中把柱视作本身有初始弯曲的杆或荷载有偏心的直杆，第二类简图则把柱视作理想中心压杆，即认为杆是绝对直的、材料绝对均匀、荷载亦无任何偏心。

有初始弯曲的杆或偏心受压直杆　两端铰支的柱作为偏心受压直杆时（图1a）。根据小刚度杆的计算理论,任意横截面上的弯矩为=(+),式中为弯矩；为荷载；为偏心距；为任意横截面处杆的挠度。若杆的材料始终在线弹性范围内工作，则由挠曲线近似微分方程“=－=－(+)”可得杆的中点挠度与荷载有如下非线性关系：

式中为弹性模量;为惯性矩；为杆长。图1b中的实线示出了上式所示的-关系;当→=π/时，杆的挠度迅速增长，且以水平线为渐近线。事实上,挠度较大时就不能利用曲率的近似式1/=d/d,亦即不能利用挠曲线近似微分方程“=-”。如果利用曲率的精确表达式，则-曲线将如图 1b中虚线所示。

理想中心压杆　把柱作为理想中心压杆时（图2a），若在分析中对杆不给予任何干扰，则-曲线显然为图2b中的铅垂线;假设杆受到微小的干扰而弯曲,则由曲率的精确表达式1/=d/d所列出的微分方程为，据此可求得-曲线如图2b中实线所示。由此可知，对于理想的中心压杆,当荷载低于临界值时杆保持直线形式，此时如果杆受到微小的干扰而弯曲，则干扰除去后杆即恢复原有的直线形式，即时，理想的中心压杆有两种可能的平衡形式；直线形式和弯曲形式；而直线形式的平衡是不稳定的，杆在任何微小的干扰作用下发生微弯后,就会继续弯曲直至达到曲线上与相对应的值。当=时，直线在点与曲线分叉,平衡是随遇的，微小的干扰除去后杆仍保持在干扰作用时的位置上。以上分析均假设材料始终在线弹性范围内工作。事实上，当荷载达到如图2b中点对应的值时,由于杆中最大应力达到弹性极限而杆所能承受的荷载迅速减小,-曲线将沿虚线下降。这就是说,细长的理想中心压杆所能承受的最大荷载仅稍高于临界荷载。由于确定最大荷载需要冗长的计算，而确定临界荷载比较简单，所以在工程计算中，常把临界荷载作为压杆所能承受的最大荷载。

根据理想中心压杆所得的临界力称为欧拉临界力。当压杆两端为铰支时,=π/。当端部约束条件不同时，柱的欧拉临界力的计算公式可统一写作

Pcr=π2EI/(μL)2

式中μ为与端部约束条件有关的长度系数,μ称为相当长度（有效长度）。将上式两端除以柱的横截面面积所得的应力，称为欧拉临界应力

σcr=π2EI/(μL)2A=π2E/λ2

式中称为柱的柔度,也称为柱的长细比。

求临界力和临界应力的欧拉公式按其导出的条件，只适用于临界应力不超过材料的比例极限,即π/λ≤的情况，也就是即所谓细长柱的情况。对于λ＜λ的中长柱和短柱,常采用经验公式计算临界应力。