格兰迪级数_1703年意大利数学家格兰迪提出的发散数列

格兰迪级数

1703年意大利数学家格兰迪提出的发散数列

格兰迪级数(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由意大利数学家格兰迪发表的，后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。

广义

格兰迪级数是一个没有和的发散数列

可以先写成Σ的形式：

∵当m=2k（k为整数）

原式=0

又∵当m=2k+1

原式=1

∴左右边界均存在但不相等，且值在0，1之间摆动

∴为发散数列

特殊和

但是，在特殊情况，可以根据条件求出格兰迪级数的和，如下：

针对以下的格兰迪级数

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一种求和方式是求它的裂项和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若调整括号的位置，会得到不同的结果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。

格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即

2S = 1，

可得到S = 1/2。

依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：

格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。

格兰迪级数的和为1/2。

这个特殊和属于解析延拓的范畴，在物理学中会运用

切萨罗求和

恩纳斯托‧切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼茨的概率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个，计算前项的和的平均，当趋近无穷大时的极限值即为切萨罗和。

以格兰迪级数而言，令，则该数列的部分和组成的数列为

取其前项的均值

组成的数列为

在极限下易得

即格兰迪级数的切萨罗为1/2。

参考资料

最新修订时间：2023-10-12 13:25

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