梅涅劳斯定理_数学定理 - 线报百科mbji.cn

梅涅劳斯定理

数学定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。

记忆口诀

顶点到交点，交点回顶点。

定理定义

当一条直线交三边所在的直线分别于点时，则有

定理证明

证明一

过点作交的延长线于点, 则

证明二

过点作交于，则

两式相乘得

证明三

连接，

根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比” 的性质有,

…………（1），

…………（2），

…………（3）

（1）（2）（3）得,

××=××

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图:

充分性证明：

中，上的分点分别为

连接 DF 交 CA 于 E'，则由充分性可得，

又∵

∴有，两点重合。所以共线

推论在的三边或其延长线上分别取三点，又分比是。

于是三点共线的充要条件是

（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）

此外，用该定理可使其容易理解和记忆第一角元形式的梅涅劳斯定理

如图2：

若 E，F，D 三点共线，则

即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

该形式的梅涅劳斯定理也很实用。

证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。

第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则

(O不与点A、B、C重合)

证明五

作 CH 平行于 AB 交 FD 于点 H

定理意义

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在三角形的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足

则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

定理推广

若梅氏线完全在三角形外，那么该三角形仍然成立。

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最新修订时间：2024-02-25 20:26

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