梯度向量场_数理科学名词

梯度向量场

数理科学名词

梯度向量场是由希尔伯特流形上的Cn泛函的梯度所形成的切向量场。梯度向量场生成的动力系统比较简单，它们没有周期轨，而且所有摩尔斯-斯梅尔梯度向量场（一类简单的结构稳定的向量场）在所有梯度向量场是开稠的。

定义

设是 n 维欧几里得空间上的一个光滑函数。由 f 所确定的上的梯度向量场定义为

其中

为 f 的梯度。这里之所以出现负号是一种习惯用法。

性质

一般的，设 M 是一个闭黎曼流形，是一个光滑函数。由 f 所确定的 M 上的梯度向量场由

确定，其中是由黎曼度量确定的内积，是切空间和余切空间的对偶。在局部坐标下表示为

其中是度量矩阵的逆矩阵。

动力系统

梯度向量场生成的动力系统比较简单，比如，它们一定没有周期轨。而且所有摩尔斯-斯梅尔梯度向量场（一类简单的结构稳定的向量场）在所有梯度向量场是开稠的。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 15:01

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概述

定义

性质

动力系统

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