其中Bi是Bi+1的理想，则称B是A的次理想，记为BsiA，链(*)称为次理想链。次理想是与维兰特(Wielandt，H0.)于1937年对群引入的次正规子群相平行的概念。
则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：
数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——
伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的
伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA)；群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES)；
四元数(QUA-TERNIONS )；向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。
简称“集论”。数理逻辑分支之一。以集合为对象，用公理化或朴素直观的方法，研究集合的性质及集合间的关系(主要是从属、包含与相等关系)的一门学科。其中用公理化进行研究的称为
公理集合论，用朴素直观方法进行研究的称为
朴素集合论。集合论是19世纪的数学家试图为微积分奠定坚实基础努力下的产物。波尔察诺在《关于无穷的悖论》(1851)，
戴德金(Richard Dedekind，1831—1916)在《什么是数》(1888)中都对集合的思想有比较深刻的反映，为集论的诞生作出一定的贡献。但当时他们所考虑的对象均局限于数或函数。集合论创始人是康托尔。他在探讨三角级数展开式唯一性问题的过程中，引起了对集合导集结构的研究。不久，康托尔发现这项新的研究工作具有独立于三角级数或函数论本身的重要性，并为此在1871至1897年发表一系列论文，加以论述。康托尔对集合论的贡献，有以下几个方面：(1)把集合的元素推广到任意的对象;(2)阐明“无限”的本质，构造出无限多层次的“无限”;使每一个都成为一个实体，成为数学、数理逻辑、哲学的研究对象;(3)制订了第一批关于集合论、点集拓扑、次序的重要概念;(4)创造了对角线的证明方法;(5)为“数”的概念提供一个合理内核。然而这一新理论的基础并不巩固，其根本原因是对“什么是集”应如何正确地刻画，缺乏合乎逻辑的理解。
康托尔认为，“所谓‘集合’，我们认为就是在人们的直觉或思维中，把任意确定的，不同的对象m，加以综合概括所组成的总体M。”这一“定义”，包含了两方面的缺陷：其一是所谓“总体”事实上只是集合这一概念通俗化的说法，不能作为数学上的定义;其二是“定义”中隐含了对概括者意识的依赖，包含了主观的因素，不符合形式理论纯客观的要求。因此未被后来的数学家所沿用。几乎同时，弗雷格在《算术的基本规律》第1卷(1893)中提出了一个概括原则作为规定集合的依据：“每一个性质p决定一个集合{x：p(x)}，即所有满足性质p的事物构成一个集。”抽象地看，我们不妨认为“集合者，性质也”。这一概括原则虽在当时得到普遍的认可，但不久也即受到诘难。罗素在1902年针对此原则，提出：如果令p(x)为x⋶x，则根据概括原则得到一个确定的集A={x：x⋶x}。倘若对A考察p(A)成立与否，那么由A∈A可以推出A⋶A，反之由A⋶A可以推出A∈A，这显然是一个矛盾。1900年前后在朴素集合论中产生的一些悖论及由此引起的对集合论、数学基础、逻辑推理的批评与诘难，迫使致力于这方面工作的数学家和逻辑学家努力去寻找悖论产生的原因和消除它们的方法，从而引起公理集合论的诞生和发展。迄今，集合论已经成为数理逻辑中不可缺少的组成部分，也是整个数学的基础。许多涉及数学本质的哲学问题都被归结为关于集的问题，数学中的若干基本概念需要通过某种集来加以定义，各种不同的纯粹数学分支也可以说是对赋有某种结构的集的研究。在集上附加一些不同的条件就产生序、代数、拓扑三大母结构。在各种母结构上再补充一些不同的条件就可得到许许多多子结构与交叉结构。