正五胞体(5-cell)，又作正四面体锥(hyperpyramid)，4-单形(4-simplex)，其施莱夫利符号是{3,3,3}，顶点图是正四面体，在正五胞体中每条棱上有三个正四面体。一般而言，它是正四面体的四维类比。

正五胞体(5-cell)，又作正四面体锥(hyperpyramid)，4-单形（4-simplex），是。

其施莱夫利符号是{3,3,3}，顶点图(Vertex figure)是正四面体，在正五胞体中每条棱上有三个正四面体

一般而言，它是正四面体的四维类比

当我们看一个三维的物体的时候，我们看见的是它的二维投影。同样的道理，当四维生物看一个四维的物体的时候，它的眼中也会呈现一个三维的投影。不妨用我们的三维世界作为四维生物的“眼睛”，去表示一个多胞形的投影吧！

我们都知道，在外面作一个正三角形，中心做一点向外面连线，就得到一个正四面体的投影，如右图，这也是当我们的眼睛正对着正四面体的一个顶点的时候看到的样子。

现在，我们继续类比，把正四面体的投影类比到正五胞体的三维投影上来：首先在外面做一个正四面体框架，然后找到它的几何中心定一个点，再将这个点向“外面”的四个点连上线，如图1。

但看到图1你可能不理解这是个什么东西，实际上这只是一个三维的投影（图片嘛，又要把这个三维投影再投影到二维上），正五胞体在我们这个三维世界上是不存在的，但是我们仍然可以去理解，理解四维空间的种种奇特之处。

图1确确实实是表现了正五胞体的三维投影，但实际上它不是平行投影来的，这种投影叫“施莱格尔投影”，是在它的外接球（四维的是外接一个“超球”）上取一点作的透视投影——这个施莱格尔投影的“内部”的那一点看上去比外面四个点明显要小一些。

算上“最外部”的那个四面体，正五胞体一共由五个正四面体组成，也就是有五个“胞”（cell，指组成高维多胞形的三维表面）（有点废话呵呵）之后我们就得到正五胞体的一些数据

胞(正四面体)数：5，面(正三角形)数：10，棱数：10，顶点数：5

将一个多面体的表面不断膨胀，可以让它的所有表面变成球面。变成一个球后再将球面投影到无穷大的平面上，这就是二维球极投影(如图2)

同样，四维的物体也可以通过球极投影把它的三维表面展现在三维上。将正五胞体的三维表面不断向它的外部膨胀变成“超球”，再把超球的表面投影进平坦的三维空间。

图3就是正五胞体的三维球极投影，和施莱格尔投影一样，投影中心的那个点实际上比外面四个点要小一点。

四维的正五胞体可以不经过三维而直接投影到二维上，但只能表现一些点与线之间的连接关系，如图4。

实话说这个投影是怎么写入五个点的坐标投影得到的，不过这不重要，作为四维单形的正五胞体就是这么“简单”，作一个正五边形，每两点两两连线，这就是它的二维线架正投影（没错，是正的）

一个四维物体的二维正投影其实不止一种的，不同的投影用来抽象表现这个东西不同的特性，正五胞体的二维投影英文维基上有很多，但为了表现那些特性，或多或少都有几条线段重合，这里略去

多面体上有二面角，那多胞体自然有二胞角，所谓二胞角，就是两个立体的夹角——这个在四维几何学上经常用到。

对于的二胞角的求导是要用到四维解析几何慢慢求的，太麻烦，不妨就用类比法去求：

二维正单形是正三角形，它的“二边角”（也就是夹角）是60°，用反三角函数表示就是arccos1/2

三维正单形是正四面体，它的二面角约是70.53°，用反三角函数表示就是arccos1/3

那么作为四维正单形的正五胞体，它的二胞角用反三角函数表示就应该是arccos1/4，按按计算器就知道，arccos1/4≈75.52°

正五胞体五个点的其中一种表示形式，不过这个就坐标来看，这个正五胞体的外接超球的半径却不是1——当然根据这个五个坐标重新写一个外接超球为1的十分容易。

点、线段、正三角形、正四面体、正五胞体……用这种方法一直类比下去，得到的所有东西集合在一起，就是正单形。

单形(Simplex)，英文又作Simplexes或Simplices，看上去是Simple和Complex的混合，字面意思大概是简单的复杂(Simplicial Complex，*.*)，说白点就是复杂空间（高维空间）的简单的东东——可以说，一个单形的确是该空间中构造最简单的东西。

在一个n维空间中找到n+1个点，使这些点满足每两个点距离相等，那么利用这些点就可以得到一个n维正单形(n-simplex)

通俗地说，正三角形就是二维正单形，正四面体就是三维正单形，正五胞体就是四维正单形。

需要说一下，这个“单形”可不是百度百科上的“晶体单形”，很多网站和网友（包括视频“教你认识四维空间”）所说的单形指的是四维的单形——五胞体，这里需要指正一下。单形应该是一个集合。

图5是前二十维正单形的二维投影，可以说极其简单，截图摘自维基百科。

根据前四维单形（点、线段、正三角形、正四面体、正五胞体）的各维度的数据，可以推导到下表的这些数据。

从左到右依次是该单形的顶点数、棱数、（三角形）面数、（四面体）胞数、超胞（四维面）数、五维面数……

0-simplex：　1

1-simplex：　2　1

2-simplex：　3　3　 1

3-simplex：　4　6　 4　 1

4-simplex：　5 10　10　 5　 1

5-simplex：　6 15　20　15　 6　 1

6-simplex：　7 21　35　35 21　 7　 1

7-simplex：　8 28　56　70 56　28　 8　 1

8-simplex：　9 36　84 126 126　84　36　 9　1

9-simplex： 10 45 120 210 252 210 120　45 10　1

10-simplex：11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

似曾相识吧，这个数列就是杨辉三角，不过最左边少了一行1（其实这样“1”是存在的，属于负一维产物）

正单形的坐标很难算（详细坐标英文维基上有），不过如果把它放到高一维的话会简单很多，

例如把一个正三角形放到三维，则它的三点坐标可以是(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)，

同样地一个正四面体放到四维后四个顶点可以是(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)

如此类推。