正交变换群(orthogonal transformation group)亦称运动群或度量群，简称正交群，是一类基本的变换群，即全体正交变换所构成的变换群。例如，平面上全体正交变换的集合构成平面上的正交群，空间中正交变换的全体构成空间中的正交群，平面上(空间中)的正交群是平面上(空间中)仿射群的子群，研究正交群下不变性质与不变量的几何称为欧氏几何或度量几何。

欧氏平面内的所有正交变换的集合构成群。

证明：

(1)封闭性：设是两个正交变换，它们的系数方阵分别为，则的系数方阵为

根据方阵的乘法法则，我们有：

但

所以

因此仍是正交变换。

(2)逆元素：设A是正交变换T的方阵，且B是它的逆变换的方阵，则有：

因为 ， 所以，故， 所以

因此其逆变换仍是正交变换。

由(1)(2)可得正交变换构成群。

正交变换就是运动，可以说所谓欧氏几何就是正交变换群下的几何。即，研究在正交变换之下有那些不变的性质和不变的量。由正交变换的定义，“距离”是基本的不变量，由此可以推出一系列其他的不变性叫不变量。 · ·正交变换把任意图形F变成与它合同的图形F‘，但正交变换是构成群的，因此图形的合同关系具有下列性质： ·

1)图形F与自身常合同(反身性)，恒等变换保证了这一性质。

2)如果图形F合同于F‘，则图形F’也合同于F(对称性)，逆变换保证了这一性质。

3)如果图形F1合同于图形F2，图形F2合同于图形F3，则图形F1合同于图形F3(传递性)，变换积保证了这一性质。

因此，图形的合同关系是一个等价关系。按着这—关系可将平面、(空间)内的所有图形进行分类，凡是合同的图形都属于同一个等价类，其中所有的图形都具有共同的几何性质，它们是正交变换下的不变性质；反过来，正交变换下的不变性质，也正是同一等价类图形的共同性质。

正交变换的几何就是研究正交变换下各等价类的共同性质，也就是正交变换下图形的不变性质和不变量。例如结合关系、顺序关系、合同关系、度量关系、平行关系，而这些关系都是欧几里得公理系统的推论，具体地说，这些不变性质和不变量也就是属于，介于、相交、平行、垂直、合同、角、正多边形、相似形、圆和其它二次曲线，长度、面积等，以及把这平面几何的性质推广到空间的一些性质等等，它们都是欧氏几何所研究的几何性质和量。可见，正交变换群的几何学就是欧氏几何学。

正交变换的定义和简单性质

定义 平面上(或空间中)保持两点间距离不变的变换，叫做正交变换。

显然，运动是正交变换。

正交变换有下列性质：

(1)两个正交变换的乘积是正交变换，正交变换的逆变换还是正交变换，这些都不难用正交变换的定义验证，容易看出正交变换的全体构成一个群，叫做正交变换群。

(2)正交变换把直线变成直线，为此，我们只需要证明，正交变换把共线的三点变成共线的三点．设P、Q、R是平面上顺序的三点，那么，它们在同一直线上的充要条件是：|PQ|+|QR|=|PR|。因为正交变换保持距离不变，所以变换之后，这个等式仍然成立，因此还在一条直线上。

利用上面的事实可以证明，空间中的正交变换还把平面变成平面。

(3)正交变换把相交直线(或平面)变成相交直线(或平面)，平行直线(或平面)变成平行直线(或平面)。

平行直线(或平面)没有公共点，它们经过正交变换之后，根据变换是一一的和性质(2)，仍然变成没有公共点的直线(或平面)，即仍旧是平行直线(或平面)。

(4)正交变换保持线段的分比不变。

由正交变换保持距离不变这一事实即可推出。

由性质(4)和(2)，正交变换把线段变成线段，因为线段上的任意点把线段分成定比A，经过正交变换，A保持不变，所以线段上的点仍变成线段上的点，由此推出线段变成线段。

(5)正交变换保持角度不变。

实际上，设∠AOB(A、B是在角两边上任取的点)在正交变换下变成∠A'O'B'。因为正交变换保持距离不变，所以△AOB与△A'O'B'的对应边相等，于是

因此∠AOB=∠A'O'B'。

(6)正交变换把直角坐标系变成直角坐标系，而且任意点M的象M'在新坐标系里的坐标与点M在原坐标系里的坐标相同。

因为正交变换即保持距离又保持角度不变，因此它把直角坐标系变为直角坐标系(图1)。

设点M的坐标为(x，y)，因为正交变换保持分比不变，因而有

这表明M'在变换后的坐标系中的坐标与M在原坐标系中的坐标相同。其中，E1、E2分别是X轴与Y轴上的单位点；M1、M2分别是M在X轴与Y轴上的正投影。

对于空间的正交变换，也有同样的结果。