正交多项式回归是用正交多项式表安排试验和回归分析处理数据。它与用
最小二乘法配制的一般多项式回归不同，其
回归系数的估计是互相独立的，若统计检验某一
回归系数与零无显著性差异，只需从回归方程中删去这一项，而无需对其他的回归系数重新进行计算。
正交多项式
对于定义在区间上[a,b]的一个函数系 ，如果其中任何两个函数在此区间上的积分为零，而他们之中每个函数自乘的积分不等于零，即
则称此函数系为在此区间上关于权函数 的
正交函数系。
当 时称之为规范的正交函数系；当此函数系中每一个函数均为多项式时称之为正交多项式（系）。
数学模型
设变量y和x的n组观测数据服从以下k次多项式
令
分别是x的一次，二次,...,k次多项式， 是一些适当选择的常数，如何选择将在下面讨论(i=1,2,…，n)。将（2）式带入（1）式，则有
比较（3）和（1）式可知，二者系数间存在简单的函数关系，只要求出 ，就可以求出 。
若把 看作新的自变量，则(3)式就成为一个k元线性模型，其结构矩阵为
正规方程为
其中
在多项式回归中遇到的困难是解正规方程系数矩阵的工作量太大，可以使其对角线上的元素不为零，而其余元素均为零，从而简化计算，而且同时消去了系数间的相关性。
对于 我们可以通过选择系数 使得
从而使
回归系数为
满足(7)和(8)式的多项式组…我们称之为正交多项式。
在正交多项式回归中自变量的选择是等间隔的，设间隔为h,x0=a, 则
若令
则
是1至n的正整数。
为简化问题，用 代替x作为自变量。在条件许可时，取自变量x1=1,x2=2,…，xn=n。当x1=1,x2=2,…，xn=n时有 ，这时验证以下多项式是正交的，即
显然，当x取正整数时， 不一定是整数，为了克服这给计算上带来的困难，取
使x取正整数时 是整数。可以验证用正交多项式 代替 所求得的回归方程与用正交多项式 所求得的回归方程是完全一样的。
对于正交多项式 有
不同的n相对应的 在 时的值以及Si值都已制成正交多项式表，根据正交多项式表，可以计算出回归方程的系数。令
则
回归方程为
由于正交多项式回归系数之间不存在相关性，因此某一项如果不显著，只要将它剔除即可，而不必对整个回归方程重新计算。
回归系数的显著性检验
正交多项式回归方程与回归系数的
显著性检验可利用正交多项式的性质按表1进行。经检验不显著的高次项可以剔除，将其效应并入
残差平方和，自由度也同时并入，如果对回归方程精度不满意，可以增加高次项，而已经计算出的结果不必重算。
程序框图
1.数学模型：
2.变量及数组说明：
J－正确读入数据的控制变量；
N－试验组数；
M－所取正交多项式项数；
X(I)－存自变量数值；
Y(I)－存因变量数值；
Z(I)－存Y(I)的平方项；
E(I,1)－存在正交多项式一次项 ；
E(I,2)－存在正交多项式二次项 ；
E(I,3)－存在正交多项式三次项 (其中I=1,…N)；
S(J)－结构矩阵逆矩阵元素 J=1,2,3；
B(J)－常数项矩阵B J=1,2,3；
D(J)－回归系数 J=0,1,2,3；
S－标准离差；
S1－总平方和；
F(J)－F检验值。
3.程序框图：如图1所示