“正交性”是从几何中借来的术语。如果两条直线相交成直角，它们就是正交的。用向量术语来说，这两条直线互不依赖。沿着某一条直线移动，该直线投影到另一条直线上的位置不变。在空间向量中，两个向量的标量积为零即两个向量正交。

如果两个函数和满足条件：，则称这两个函数相互正交。

量子力学表明：属于同一厄米算符的不同本征值的本征函数互相正交。这种性质称为本征函数的正交性。

“正交性”是从几何中借来的术语。如果两条直线相交成直角，它们就是正交的。用向量术语来说，这两条直线互不依赖。沿着某一条直线移动，该直线投影到另一条直线上的位置不变。

在计算技术中，该术语用于表示某种不相依赖性或者解耦性。如果两个或者更多事物中的一个发生变化，不会影响其他事物。这些事物就是正交的。在设计良好的系统中，数据库代码与用户界面是正交的：你可以改变界面，而不影响数据库，或者更换数据库，而不用改变界面。

我们可以通过定义一个标量积或内积在向量空间上增加结构的概念。因为对每一对向量，这种乘积得到一个标量，而不是第三个向量，因此，它并不是真正的向量乘法。例如，在 (二维向量空间)中，可以定义两个向量x和y的标量积为 。可以认为 中的向量为从原点出发的有向线段。不难证明，两个线段的夹角为直角的充要条件是两个向量对应的标量积为零。一般地，若 为定义了标量积的向量空间，且 中的两个向量的标量积为零，则称它们正交(orthogonal)。

可以将正交性理解为任何定义了内积的向量空间中垂直(perpendicularity)概念的推广。为看到这样做的重要意义，考虑如下的问题。令 为一通过原点的直线，并令Q不是 上的点。求 上离Q点最近的点P。这个问题中所求的点P的特征是，QP垂直于OP(见图5.0.1)。如果将直线 看成 的一个子空间，且 为 中的向量，则问题化为在子空间中求一向量使得它最“接近” 。解P的特征将是 与 正交(见图5．0．1)。通过在向量空间中引入内积，我们可以考虑一般的最小二乘(leastsquare)问题。在这些问题中，给定了一个 中的向量和一个子空间 。我们希望在 中寻找与v最“接近”的向量。解必 与 正交。这个正交性条件提供了求解最小二乘问题的关键最小二乘问题常常出现在很多涉及数据拟合的统计应用中。

1.正交向量组：设n维向量是一组两两正交的非零向量组，则称这个向量组为正交向量组。若其中每一个向量都是单位向量，则称向量组为标准正交向量组或规范正交向量组。

因此，一个向量组是规范正交向量组的充要条件是.

2.标准正交基：设n维向量是向量空间的一个基，若两两正交，且均为单位向量，则称为的一个标准正交基（或规范正交基）。

3.正交矩阵：若n阶方阵A满足，则称A为正交矩阵，简称正交阵。

由以上定义易知正交阵A可逆，且,此外i，若，则，

由，故.

即正交阵A的列向量组为规范正交向量组。

将向量空间的任一基（线性无关）转换为一正交规范基的方法如下：

（1）首先利用施密特正交化方法将正交化，即取,

则为正交基。

（2）然后将它们单位化，即令

则即为的正交规范基。