正交系_互相正交的函数系的简称

正交系

互相正交的函数系的简称

正交系是互相正交的函数系的简称，用于微分方程、积分方程、计算方法等数学领域。

定义

设是内积空间H的一些非零元素构成的子集，若M中任何两个不同元素都正交，则称M为H中的一个正交系，进一步，若在正交系M中每个元素的范数均为1，则称M为H的一个标准正交系。

例1 在中，

是一个标准正交系。

例2 在空间中，命

由于

因此是一个标准正交基。

相关定理

已知在线性代数中，对于一组线性无关向量可用格雷姆一休密特(Gram—Schmidt)正交化程序构造出标准正交向量组，在内积空间中则有下述的定理。

定理1

(格雷姆一休密特正交化程序)设H是内积空间，是H中的线性无关子集，则存在标准正交系，使得对每一个自然数n，有：。

定理2

内积空间H中的有限维子空间M是闭子空间。

定理3

设是希尔伯特空间H中的一个标准正交系，令，如果P是H到M上的正交投影算子，则对于任意的，有

定理4

设是希尔伯特空间H的标准正交系，是实(或复)数点列，那么级数在H中收敛，当且仅当。进而还有

定理5

[贝塞尔(Bessel)不等式]设是希尔伯特空间H中的标准正交系，则对于任意的x∈H和n∈N，有

和

进一步

而且在H中收敛。

定理6

设是内积空间H中的一个标准正交系，则是完备的，当仅当张成的子空间L在H中稠密。

定理7

设H是希尔伯特空间，是H中的标准正交系，则是完备的，当且仅当是完全的。

在一般的希尔伯特空间中，标准正交甚有下述等价刻画。

定理8

设为希尔们特空间H中的标准正交系，则下述一些条件等价：

(1)S是H的完全标准正交系；

(2) (此条件满足时称S为完备的)；

(3)

(4)对于任意的，

(5)对于任意的，巴塞伐尔等式成立，即

(6)对于任意

定理9

设H是希尔伯特空问，则下述两条等价：

(1)H是可分的；

(2)H有一个至多可数的完全标准正交系。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:25

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