曲线将平面分为正、负两个区域，若将正区域中的一点代入该曲线的表达式中，所得值大于零；而将负区域中的一点代入该曲线的表达式中，所得值为负。将具有正负性质的曲线称为正则曲线。

正则曲线是一类重要的曲线。它是处处存在惟一切线的曲线。设曲线的参数方程为r=r(t)={x(t)，y(t)，z(t)}，若在t=t0时，其切向量r′(t0)≠0，则称t=t0处曲线上的点为正则点；若曲线的参数方程中的坐标函数都是t的连续可微函数，且曲线上的点都是正则点(即r′(t)≠0)，则称此曲线为正则曲线，称此参数方程为正则参数方程，称t为此曲线的一个正则参数。

什么是曲线？按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相当于是说：

(I)R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的；

(II)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到；

(III)说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科，为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。

正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看作空间质点运动的轨迹。数学中的严格定义有：区间[a，b]到E中的映射r：[a，b]→E。有时也把这种映射的象称为曲线。人类很早就有曲线的概念，例如圆周、弧等。较早将曲线用于数学问题研究的是公元前300年欧几里得在《几何原本》中给出的线的定义：线只有长度而没有宽度，一线的两端是点。这虽然是对于线的概念的最早说明，但“长度”、“宽度”等都还没有定义，实质上并没有给出线的完全定义。一般来说，线分为直线与曲线，不是直线的线被称为曲线。但在现代数学中，曲线有包含直线的意义。欧几里得之后，曲线作为几何中自明的概念一直在使用着。在古希腊时代，大部分曲线都被看作是静态的，例如阿波罗尼奥斯论述的圆锥曲线，只有少数曲线用运动来定义，例如阿基米德螺线。公元4世纪帕波斯首次对曲线进行分类，称从直线和圆作出的曲线是平面曲线;圆锥曲线是立体曲线;割圆线、蚌线、蔓叶线和螺线等特殊曲线为第三类曲线。第三类曲线被希腊人称为机械曲线，因为需要用某些特殊机械来画它们。到17世纪，法国数学家笛卡儿又提出几何曲线的概念，指那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表示的曲线，并进一步按方程的次数将几何曲线进行了分类。意大利科学家伽利略将抛物线看作是物体向上斜抛时运动的轨迹，这种思想被数学家接受，逐渐将曲线看作是动点的轨迹。17世纪还开始了求曲线长度的研究，1668年英国数学家格雷戈里在《几何的通用部分》中给出计算曲线长度的方法。此外，1748年欧拉对所研究的曲线引进参数表示，成为近代向量表示法的基础。

19世纪末随着数学各分支基础的严密化，曲线概念的严密化也引起人们的重视。1887年法国数学家若尔当在《分析教程》中给出曲线的定义：由连续函数x=f(t)，y=g(t)(to≤t≤t1)表示的点集，并要求对每一个(x，y)只存在一个t，这种曲线被称为若尔当曲线。1890年意大利数学家皮亚诺发现符合若尔当定义的曲线能填满一个正方形，1891年希尔伯特将他的例子简化，作出了从单位线段到正方形上的连续映射的另一个例子，成为数学分析中著名的反例。这种情形反映出若尔当曲线定义的缺陷。20世纪20年代数学家重新定义曲线，门格(1926)等人利用拓扑学工具定义曲线为一维连续流形，排除了填满空间的曲线，并反映了曲线在同胚下不变这一性质。对曲线的研究是许多数学分支的基本内容，由此建立和发展了相关学科，促进了数学的发展。

几何学的一门分支。主要以数学分析、微分方程为工具，研究光滑曲线，曲面在它一点邻域的性质。例如研究一般曲线和一般曲面在一点的曲率就是微分几何中的重要内容。近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何与黎曼几何学、拓扑学、变分学、李群等有了密切的联系。上述各学科与微分几何的互相渗透已成为现代数学的中心问题之一。微分几何在力学和 一些工程问题(如弹性薄壳结构、齿论啮合理论等方面)中有广泛的应用。

微分几何是研究微分流形及其对全体微分同胚之群的不变量的几何学，将平面曲线与挠曲线的古典研究放在微分几何这一范围内时，切线与密切面的概念就是不变量。当在平面或空间上给出一种欧几里得结构时，人们便能够定义度量不变量(长度，法线，曲率，挠率，弗莱纳标形，等等. )这最后一些概念的推广导致黎曼流形的研究。这是当代研究成果较多的分支之一。