在
数学和理论
物理中，泛函导数（functional derivative）是
向量导数的推广。后者相对于一个有限维向量求导，而前者则相对于一个
连续函数（可视为无穷维向量）求导。它们都可以认为是简单的一元微积分中导数的扩展。
定义
在变分法中，泛函通常表示成函数、函数导数以及自变量的积分。例如考虑泛函
如果函数加上一个任意小的变化，把被积函数展开成的幂级数
则泛函的值的变化
一阶项的系数就称为泛函关于函数在点处的泛函导数，记做 。
泛函导数
设有
流形M代表（
连续/
光滑/有某些
边界条件等的）函数 φ 以及
泛函 ：
称为的变分。是线性泛函，由里斯-马尔可夫-角谷表示定理，这个泛函可表示成对某个测度的积分。就定义为这个测度的拉东-尼科迪姆导数。
把函数看作在处的梯度，看作在处沿方向的方向导数，则类似于向量微积分，梯度与某个方向向量的内积就给出了这个方向的方向导数。
泛函微分
泛函的微分就是
用一个启发性的观点来看，是的改变，形式上有，则上式就和多元函数的全微分相似
比较这两个等式，泛函导数扮演着类似于偏微分的角色，积分变量就像是连续版本的求和指标 。
正式表述
通过更具体地定义
函数空间，泛函导数的定义可以在数学上更准确、正式。例如，当函数空间是
巴拿赫空间时, 泛函导数就是著名的弗雷歇导数, 而在更一般的
局部凸空间上就是
加托导数。注意，
希尔伯特空间是
巴拿赫空间的特例。更正式的处理使我们能够将普通
微积分和
数学分析中的许多定理推广为泛函分析中对应的定理，此外还能得到大量的新定理。
性质
与函数的导数类似，泛函导数满足下列的性质（其中和都是泛函）：
其中皆为常数。
若F和G为两个泛函，则
若当中的G为一个普通的可导函数g，则上式化为
确定的泛函导数
有一类常见的泛函，能表示成一个函数及其导数的积分的形式。对于这类泛函，可以给出一个计算泛函导数的公式。
公式
对于泛函
以及在积分区域的边界上取0的函数，由之前的定义
以上泛函导数公式可以推广到包含高阶导数的情况
其中是张量算子，分量为
则相应的泛函导数为
例子
托马斯-费米动能泛函
被积函数不含的导数，所以泛函导数
库仑势能泛函
魏茨泽克动能泛函
熵
连续随机变量的熵是其概率密度函数的泛函
指数
这个公式在量子场论中，从
配分函数来计算
相关函数时特别有用。
函数的泛函导数
函数可以像泛函那样写成一个积分的形式
从而可以把看作关于的泛函。因为这个积分不依赖于的导数，故泛函导数
迭代函数的泛函导数
迭代函数的泛函导数
一般情况
令上式的可以解出反函数的泛函导数
δ函数作为测量函数
在物理学中，常用
狄拉克δ函数，而不是一般的测试函数，来得到在点处的泛函导数（这是整个泛函导数上的一点，就像偏导数是梯度的一个分量）
这在可以“在形式上”展开成的级数时是有效的。然而这个公式在数学上是不严密的，甚至连通常都是没有严格定义的。
上面给出的定义是基于一种对所有
测量函数f都成立的关系，因此有人可能会想，它在f是一个指定的函数（比如说
狄拉克δ函数）时也应该成立。但是，δ函数不是一个合理的测量函数（甚至都不是一个真正的函数）。
在定义中，泛函导数描述了整个函数发生微小变化时，泛函如何变化。其中，的变化量的具体形式没有指明，但应该在整个定义区间上都有变化。使用δ函数形式的扰动表明函数只在点处变化，其他的点都没有变化。