波束形成算法是智能天线研究中最核心的内容。波束形成算法根据基于的对象不同可以分为基于方向估计的自适应算法，基于训练信号或者参考信号的方法和基于信号结构的波束形成方法；根据是否需要发射参考信号，分为非盲算法和盲算法。接下来本文将具体介绍这几种算法。
波束形成算法的分类
波束形成算法是智能天线研究中最核心的内容。按照不同的准则，可以将波束形成算法分为许多种类。例如根据基于的对象不同，可将波束形成算法分为以下3类。
（1）基于方向估计的自适应算法。这类算法分为两种情况。第一种情况，参考用户信号方向已知。这时可根据不同的准则（如线性约束最小方差准则、最大似然准则和最大信噪比准则等）计算自适应权值。第二种情况，参考用户信号方向未知。这时可根据多信号分类（MUSIC）、旋转不变技术信号参数估计（ESPRIT）等方法等估计信号DOA。这类方法虽然在分析上较方便，但是存在运算复杂度高、对误差敏感度高等问题。
（2）基于训练信号或者参考信号的方法。这类算法不需要估计信号到达方向，对天线本身的结构也没有太多的限制。但是这类算法存在的问题是发射训练信号需要先验载波和符号的恢复，这对于存在同信道干扰的情况比较困难，而且发射训练信号会降低频谱的利用率。
（3）基于信号结构的波束形成方法。这类算法利用信号的时域特性来计算权值，利用了恒模特性、有线集码、循环平稳特性和高阶统计量等，对误差比较稳健，不需要信号的方向信息。但是，这类算法存在的问题是收敛速度较慢。
另一种更常用的分类方法是根据是否需要发射参考信号，将波束形成的算法分为非盲算法和盲算法。
（1）非盲算法通过发射训练序列或者导频信号来确定信道响应，然后根据一定的准则调整权值。常用非盲算法包括最小均方（LMS）算法、直接矩阵求逆（DMI）算法和递归最小二乘（RLS）算法。
（2）盲算法不需要发射训练序列或者导频信号，接收端将自己发送的信号作为参考信号进行估计，然后调整权值。典型的盲算法包括两种：一种是利用信号特征的盲算法，比如利用信号恒模特性的恒模算法，利用信号循环平稳性的周期平稳性算法，还有有限符号集算法；另一种是利用DOA的盲算法。提取DOA信息的算法如MUSIC、ESPRIT等。
波束形成算法的分类如图1所示。
图1波束形成算法分类
以下分别介绍几种典型的波束形成算法。值得首先一提的是，由于在实际通信系统中，信号的幅度、相位和到达角等都以极快的速度变化，这要求自适应网络的响应速度要极快。所以，对于一种确定的算法，其收敛速度是衡量其好坏的一个重要标准。另一重要标准是稳态响应。自适应阵的稳态响应可以通过方向图、均方误差、输出SINR等来衡量。
非盲算法
（1）LMS算法
LMS算法基于最小均方误差（MMSE）准则，根据最陡下降法原理得出。下一时刻的加权矢量等于当前时刻的加权矢量加上一个负均方误差梯度的比例项，如式（2.8）所示：
W（n+1）=W（n）-μ▽（n） （2.8）
式中，▽（n）表示代价函数的梯度。代价函数是指在一个最优化波束形成器中，通过使用代价函数（如均方误差）最小化来实现方向图的形成。通常，这个代价函数反比于阵列的输出。这样，当代价函数最小时，阵列输出端的信号质量就达到最优。梯度的计算是复杂的，通常用适当的估计值▽（n）来代替，若取
▽（n）=-2e（n）X（n） （2.9）
式中，e(n)为期望输出d(n)与滤波器实际输出之间的误差，X(n)为输出信号，则式（2.8）变为：
W(n+1)=W（n）+2μe（n）X（n） （2.10）
选择合适的步长μ，就可以由一个初始加权矢量W(0)经过若干次迭代后，得到一定精度要求下的最佳加权矢量。
LMS算法是数字信号处理中最经典的算法之一，其主要优点是能稳定收敛，比较灵活，易于实现。但是，存在对输入信号协方差矩阵特征值分布敏感，收敛速度较慢的问题。
（2）DMI算法
LMS算法通过迭代来实现波束形成，对于系统实时性的要求有时难以得到满足，而DMI算法对协方差矩阵直接求逆，可加速收敛速率。
如果期望信号和干扰信号都先验已知，即可求得其协方差矩阵。但是在实际系统中，信号未知且信道时变，自适应处理必须不断更新加权矢量来适应动态的环境。这需要在没有先验知识的情况下，以及在有限的观察时间内，得到自相关和互相关的估计，并利用估计值得到加权矢量。具体算法如下所示：
（2.11）
（2.12）
式中，Rx是X(K)自相关矩阵的估计，rxd是向量X(k)和期望信号估计dq(k)的互相关向量的估计。N1和N2为观察时间的下限和上限。其最优加权矢量如式（2.13）所示：
（2.13）
DMI算法比LMS算法的收敛速度快得多，但是由于需要矩阵求逆运算，存在复杂度高的问题。
（3）RLS算法
DMI算法中，自相关和互相关矩阵的估计使用的是观察窗，在观察窗内认为每次采样的数据对估计有相同的贡献。但在时变信道中，这样处理可能会造成数据的损失。
在RLS算法中，通过数据加权的方式获得估计，新信息有较大的权值；并且用一个与信号相关的附加矩阵代替LMS算法中的步长，提高了收敛速率。RLS算法的加权矢量迭代式为：
（2.14）
（2.15）
式中，d(n)代表参考信号，P(n)为迭代过程中的过渡矩阵，其中α称为遗忘因子（α≤10）。
RLS算法的优点是收敛速度快，但是存在计算量大、不能稳定收敛等问题。
盲算法
（1）基于信号特征的盲算法
利用信号的一些固有特征，如恒模特性、周期平稳性、高斯性、有限字符和独立性等，在接收端通过这些特征的恢复而抑制干扰的算法就是基于信号特征的盲算法。这类基于信号特征的盲算法可以分为两种：一种是利用信号的统计性质（如非高斯性和循环平稳性），称为随机性盲波束形成；第二种是利用信号本声的确定性性质（如恒模、有限字符、独立性等）或信道的信号处理模型的结构性质，称为确定性盲波束形成。
以下主要介绍一种应用广泛的最小二乘恒模算法。
一般的恒模算法（CMA）是基于MMSE准则的，一种基于最小二乘（LS）准则的最小二乘恒模（LSCMA）算法得到了更广泛的应用。
LSCMA的代价函数可以表示为：
（2.16）
式中，N代表快拍个数。
这里可以分为静态LSCMA和动态LSCMA两种情况。静态LSCMA在迭代过程中输入信号存储器中的值保持一个固定序列；动态LSCMA在一次迭代过程中输入信号存储器中的值在不断更新。具体表达式如下所示：
静态LSCMA：
（2.17）
（2.18）
（2.19）
动态LSCMA：
（2.20）
（2.21）
（2.22）
其中，
（2.23）
（2.24）
分别代表静态和动态情况下的输入信号矢量。
r(k)代表对输出信号进行归一化处理，如下式所示：
（2.25）
比较以上公式可以看出，静态LSCMA算法较动态LSCMA简单，但是信道随着时间变化较快时，使用静态LSCMA会丢失很多有用信息，很可能形成不正确的波束。所以，动态LSCMA在实际系统中得到更多应用。
当然，也可用输入信号的自相关矩阵和输入、输出信号之间的互相关矩阵来表示加权矢量更新公式，如下式所示：
（2.26）
其中，
（2.27）
（2.28）
通过以上分析可以看出，由于LSCMA算法使用了DMI的方法，避免了LMS算法对输入信号协方差矩阵特征值分布敏感的问题，收敛速度较快，而且不同于基于MMSE准则的一般CMA算法，LSCMA算法能够稳定收敛。
（2）基于DOA的盲算法
基于DOA估计的自适应波束形成算法，首先根据阵列信号的先验知识估计信号的DOA，然后根据这些估计信息建立最优波束器从干扰和噪声中分离出期望信号。用于DOA估计的高分辨率技术有传统法（比如延迟相加法和Capon最小方差法）、子空间法（比如MUSIC算法和ESPRIT算法）、最大似然法以及将特性恢复法和子空间结合起来的综合法。传统法基于经典波束形成算法，需要大量的阵元才能获得高分辨。子空间利用输入数据矩阵的特征结构，是高分辨率的次最优方法。最大似然是最优方法，即使在信噪比很低的环境下也能获得良好的性能，但是存在计算量大的问题。综合法首先利用特征恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向。总体而言，基于DOA估计的自适应波束形成算法分为两步：DOA估计和波束形成，计算量较大。此外，很难准确获得这类算法需要的先验空间特性知识。
以下主要介绍传统的Capon算法和应用较为广泛的MUSIC算法。
①Capon算法。Capon波束形成器（即最小方差无畸变响应波束形成器）使用部分自由度在期望的观测方向上形成一个波束，利用剩余的自由度在干扰方向上形成零陷。当有多个信号入射传感器阵列时，阵列输出功率将包括期望信号功率和干扰信号的功率。Capon最小方差法使干扰信号的输出功率最小，以抑制干扰信号，同时使增益在观测方向保持为常数（通常设这个常数为1），用下式表示：
（2.29）
约束条件：
（2.30）
式（2.29）是一个约束优化问题转化为非约束问题，利用拉格朗日乘子，可以得到：
（2.31）
利用Capon波束形成方法，阵列输出功率关于DOA的函数可由Capon空间谱得到：
（2.32）
把所有值取遍，计算和画出Capon谱，就可以通过寻找谱上的峰值来估计出DOA。
Capon算法虽然经典，但是存在一些不足，比如不能很好地区分期望信号和与期望信号相关的其他信号，因为它在减小处理器输出功率时无意中利用了这种相关性，而没有为其形成零陷。即在使输出功率达到最大的过程中，相关分量可能会恶化合并。而且，Capon法需要对矩阵求逆运算，这对于大型矩阵计算相当复杂。
②MUSIC算法。MUSIC算法是一种有代表性的空间谱算法，是空间谱估计发展史上具有重要意义的算法，实际上已经成为空间谱估计方法和理论的重要基石。其算法流程如下：
（a）根据N次快拍的阵列输入数据X(n)，n=0,1,…,N−1，计算输入协方差矩阵的估计值：
（2.33）
（b）对进行特征分解：
（2.34）
其中，
为Rxx的特征值，V=[q0,q1,...,qM-1]是相应的特征向量。
（c）利用最小特征值λmin的重数N得到信号数的估计值K=M-N。
（d）计算MUSIC谱：
（2.35）
其中，Vn=[qN,qN+1,...,qM-1]。
（e）搜索PMUSIC(Φ)的K个最大峰值，得到波达方向的估计，k=0,1,…,−1。
MUSIC算法利用了信号子空间的特征空间，性能优越。但是，当入射信号高度相关时，由于RXX变成奇异，MUSIC算法也将失效。总体而言，MUSIC算法具有分辨率高的优点，但是也存在一些不足，比如抗多径能力弱，无法分辨相关信号源，当信号源数大于阵元数时，算法失效等。