潜无限是在数学基础研究中指无限是一种永无终止的过程。古希腊亚里士多德是历史上明确区分实无限和潜无限的第一人。仅承认潜无限而否认实无限的立场是数学中潜无限论者的基本观点。19世纪，柯西和魏尔斯特拉斯建立了严格的极限理论，使这一观点在数学中占了主导地位。19世纪末，康托尔建立的集合论使实无限重新成为数学的对象。

实无限和潜无限(actualinfinity and potential infinity)两种不同的无限观。潜无限是指把无限看成一种过程，一种永远处于生成状态之中的过程，实无限则是指把无限看成现实存在的，已经生成了的对象。

在数学的历史上，围绕实无限概念和方法在数学中应用的合理性问题曾有过长期的争论。例如，现代数学基础研究中的直觉主义者就可看成潜无限论者，因为他们对数学中的实无限概念和方法采取了绝对否定的态度，形式主义者可以说成方法论的实无限论者，因为虽然他们也认为实无限的对象是不具有任何客观意义的，但同时都又认为，出于方法论的考虑，仍然可以把非有限的成分作为理想元素引入到数学中来，现代数学哲学研究中的柏拄图主义者所采取的则是实无限证者的立场：他非但对实无限概念和方法在数学中的应用持肯定的态度，而且还认为，实无限的对象具有客观实在性。由于无限观的分歧，在直觉主义与形式主义以及形式主义与柏拉图主义之间曾有过激烈的争论，一般地说，这一分歧事实上也就是数学哲等中各种观点的实际分界线所在。

从自然数角度出发的潜无限和实无限

Aristotle将无限定义为“不可得”，无限定义在所有能够用一个无终结的过程来描述无限的情形，这个过程是无限序列步骤，后面一步总不同于前面一步。用这个定义，一个圆尽管没有始点和终点，但不能看作无限，总可以找到一个和前面一样的后续。

尽管Aristotle承认每一个自然数的存在，但全体自然数不可得，不能被人类所认识。他没有将自然数看作实无限，相反，他们可以表征为潜无限。事实上，Aristotle将无限看作永远没有完竭的过程(endless process)。无限没有起点，没有终点，存在一个“后续”(successor)，每一项永远和前面的项(predecessor)不同。这个过程永远不能完成，称之为潜无限(potential infinity)。比如，数数的过程需要所有时间才能完成，这是人力达不到的。受时间的局限，无法达到无限的整体。在他看来，无限数量化不可理解。而是将无限看作永远在延伸着的、一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中、永远完成不了、是潜在的。在他看来，量就是一个数字，一个靠计数达到所给数字。给定一个计数的不可到达的过程，就没有类似无限量这样的事情。

然而，Aristotle并没有完全拒绝无限。因为它的存在有很多暗示：时间，可以无限分割；空间，似乎是没有止境的。相应的是，人类无法想象一个无限实体以及它的实在的方面，并证实它的存在。倘若无限不能“一次都呈现”(all at once)，Aristotle就定义了两种不同无限观念：潜无限和实无限。这使他承认了无限的存在。Aristotle将实无限定义为瞬间的无限呈现(to be infinite present at a moment time)。他将这看作不可理喻。因为这样的实在过程需要整个时间。他认为，无限全部被理解只能通过时间来实现，并且以潜无限来呈现。在Aristotle看来，所有对无限的拒绝就是拒绝实无限；另一方面，潜无限应看作“现实的基本特征”，因而是可接受的。Aristotle相信它们的差别可以解决不同悖论。

徐利治认为，潜、实无限分歧的另一根源来自自然数列本身所具有的二重性质——“内蕴性”和“排序性”。所谓“内蕴性”是指自然数列所具有的内在性质。它们表现为自然数之间的各种特定的关系，如由种种数论性质表现出来的关系等。由于不断延伸的数列将会不断产生新的内蕴性，而层出不穷的内蕴性是不可能穷尽地被构造出来的，当然它们也就不可能作为无穷整体对象来把握。所以，从“内蕴性”角度看待自然数列，即着眼于含有内蕴性质的数列，就只能视为潜无限。

所谓“排序性”是指自然数依次相续的那种宏观的外在性质。对此性质的把握不需要能动性的构造活动，而可将它看成是自然数列一贯到底的整体性质。既然如此，着眼于含有“排序性”的自然数列也就自然是实无限模式了。

从思维能动性角度出发的潜无限和实无限

徐利治认为潜无限和实无限问题还涉及人脑概念思维的能动性限度问题以及自然数列的二重性本质问题。古典哲学家Hegel就曾在《哲学史讲演录》中表述过：“时间和空间的本质是运动”。如果承认运动的客观性，承认运动变化的过程中有时能在“临界点”出现质态上的“突变”，而人脑概念理性思维具有反映“飞跃”的能力，则实无限概念的客观性也就不难阐明了。

假设一个动点P从数轴上的坐标点1处滑动到坐标原点O处，那么显然该点P必须经历一切形如 的坐标点汇成的无限点集 。于是由一一对应 也就立即得出了 。在这个思维认识过程中，可以认识到P点与原点O的距离从非零变到零是一个数量性质上的突变，而这个突变立即导致形如 的坐标点个数由“有限”飞跃到“真无限”，相应地实无限概念 ，即 的对应物也是由概念思维活动客观地反映这种“飞跃现象”(量变到质变过程)的产物。

如上所述，就是科学认识论观点下有关“实无限概念的客观性”解释。需要补充说明的是，正如几何学上的圆是绝对完美的的理想事物，在现实中并不存在那样。含有无限多元素的实无限N也并不存在于现实经验中，而只是反映某种客观实在关系的理想事物。Hilbert就不认为现实经验中存在实无限，但却欣然接受实无限概念，并认为那是通过思维的“外插”而获得的一种理想事物。可以看出，他所说的思维外插，无非是指富有能动性的理性思维对“飞跃现象”作出的正确反映。

可见，实无限论者是默认概念思维具有反映“飞跃现象”的能动性，而潜无限论者由于不认识、不认可或不信赖概念思维的能动性，所以也就拒绝思考实无限对象，或不愿接受由思维能动性产生的实无限概念。这说明两种无限观的分歧的可能根源之一就是由于“思维主体”在思维形态上的不同，一种思维形态默认思维反映飞跃的能动性，另一种则否认或无视能动性。

无限到底是潜无限还是实无限?这一直是数学史上争论的问题。自古以来，主张潜无限观的哲学家和数学家有：Aristotle(包括其后继者)，Gauss，Galois，Kronecker，Poincare，Brouwer，Weyl，Bishop

Aristotle只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，17世纪下半叶，Newton、Leibniz创立的微积分学也是以实无限小为基础的。在其理论中，无穷小量被看作一个实体，一个对象，正因为此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了Berkeley悖论及一系列荒谬结果。

Gauss于1831年7月12日写给Schumacher的信说，“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意地趋近它，而另一些则允许没有界线地增加。”Cauchy也不承认无穷集合的存在，因为部分能够同整体构成一一对应这件事，在他看来是矛盾的。

尤其到了18世纪末至19世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现于现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪60年代，A Robinson创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与Cauchy的极限分庭抗衡了。尤其，在Cantor的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的、存在着的整体”的实无限思想。Cantor将无穷集合用基数 来标记，无穷集合似乎可以当作量来处理。

主张实无限观的哲学家和数学家有：Leibniz，Hegel，Dedekind， Cantor， Weierstrass，Hilbert， Russell，Godel，ThomPlatonists(Plato主义者)等。

表面上看来，Cantor—Zermel似乎在古典与近代集合论中完全贯彻了实无穷观点，而Cauchy—Weierstrass在极限论中似乎完全贯彻潜无穷观点。事实上，集合论和极限论中都包含潜无限和实无限这一对矛盾，并且，对于近现代数学系统中的那些涉及无穷观的子系统而言，往往都是兼容潜无限和实无限的系统。作为极限本身而言，它既是潜无限，又是实无限，“实无限和潜无限是一个硬币的两个面”。