焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。

连接圆锥曲线上任意两点得到的线段叫做圆锥曲线的弦。若这条弦经过焦点，则称为焦点弦。

焦点弦也可以看成由同一直线上的两条焦半径构成。

一般的圆锥曲线弦长可以用弦长公式来求，但因为焦点弦经过焦点这条特殊的性质，使得焦点弦长有着其他更加方便的求法（根据已知信息选择相应公式）。

以焦点在x轴上的圆锥曲线为例：

标准方程：

左焦点弦： 或

右焦点弦： 或

其中x1、x2是焦点弦端点的横坐标， 是离心率， 叫做焦准距（即焦点到对应准线的距离），θ是弦所在直线的倾斜角。两组公式均可由焦半径公式得到。

推导过程：

左焦点弦时，设∠AFx=θ，那么：

。

右焦点弦时，把分母的-cosθ换成cosθ即可。

有些地方把第二组公式写成 ，是便于直接从椭圆方程得到焦点弦长，而跳过了求焦准距的步骤。但事实上这样写的好处在于可以把三种圆锥曲线的焦点弦公式统一起来，只需要记住一个公式即可计算三种圆锥曲线的焦点弦。

标准方程：

同支左焦点弦： 或

同支右焦点弦： 或

两支左焦点弦： 或

两支右焦点弦： 或

注意：双曲线有两条分支，焦点弦的端点在同一支上时，焦点在焦点弦上，此时焦点弦长为两条焦半径之和。焦点弦的端点在两支上时，焦点在焦点弦的延长线上，此时焦点弦长为两条焦半径之差。公式中的字母与椭圆的情况相同。

类比椭圆的第一个公式，椭圆左焦点弦和双曲线两支左焦点弦表达式相同，和双曲线同支左焦点弦表达式互为相反数，另一边同理。

运用第二个公式计算焦点弦时一定要注意是同支焦点弦还是两支焦点弦。如果是同支则分母可以直接去绝对值符号。如果是两支则分母去绝对值之后要变号。判断方法是看焦点弦的倾斜角，如果倾斜角在两渐近线倾斜角之间的，则为同支焦点弦，否则为两支焦点弦。不会出现恰好等于渐近线倾斜角的情况，因为如果直线和渐近线平行，经过焦点的直线和双曲线有且只有一个交点，不可能形成焦点弦。

标准方程：

焦点弦： 或

第二个公式可以化简。因抛物线的焦准距恰好为标准方程中的p，并且e=1，所以可以化简成

焦点弦有很多良好的性质，高考中或多或少会出现使用，甚至直接要求证明这些性质的题目。在此列举了几个常见的性质以及它们的证明过程。证明中皆以焦点在x轴上的圆锥曲线为例。

一、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点弦中，通径最短。、

所谓通径是指垂直于轴的焦点弦。根据圆锥曲线焦点弦的统一公式，当 时分母取得最大值1，因此焦点弦取得最小值 。对于椭圆和双曲线， ；对于抛物线， 。

二、以焦点弦为直径的圆与相应准线的关系：椭圆——相离；双曲线——相交；抛物线——相切。

用解析几何计算量较大，在此用平面几何的知识来证明。

设焦点弦为AB，分别过A和B向相应的准线作垂线AM和BN，得到直角梯形ABNM。取AB中点C，过C作CD⊥准线，垂足为D。根据平行线等分线段定理，D为MN中点，因此CD是直角梯形ABNM的中位线。

根据梯形中位线定理，

CD是圆心C到准线的距离，而AB是圆的直径，因此有 ，r是半径，d是圆心到准线距离。

对于椭圆， ，即 ，所以圆和直线相离。

对于双曲线， ，即 ，所以圆和直线相交。

对于抛物线， ，即 ，所以圆和直线相切。

这条性质对于处理抛物线的焦点弦时比较有用，设圆和准线切于P，连接PA、PB，结合下面的性质七可以得出PA和PB都是抛物线的切线。

三、半通径（通径的一半）是焦点弦被焦点分成两条焦半径的调和中项。

所谓一条线段是另外两条线段的调和中项，指的是这条线段的倒数的二倍，等于另两条线段倒数之和。

设焦点弦为AB，焦点为F（F在AB上），则 ，其中ep是半通径（参考性质一）。

可以用平面几何证明。

当AB与轴不垂直且不重合时，过A、B分别作轴的垂线，垂足为C、D，准线交轴于E。那么△ACF∽△BDF。

不妨设A比B更靠近准线，则有

根据圆锥曲线的第二定义，CE=A到准线距离=AF/e，DE=B到准线距离=BF/e。而EF=p，代入上式，得：

所以有

移项，整理得

当AB⊥轴时，AF和BF都是半通径，即AF=BF=ep，结论成立。

当AB与轴重合时，AB与抛物线或双曲线的一支仅有一个交点，不构成焦点弦，而和椭圆的两个交点恰好是长轴的顶点。此时不妨设AF=a-c，BF=a+c，经过计算可知结论依然成立。

四、组成焦点弦的两条焦半径之积与该焦点弦长成比例，比值为 。

从性质三的证明中对最后的等式取倒数即可。

五、设AB是焦点弦，焦点为F，E是相应准线与对称轴交点。连接AE、BE，则EF平分∠AEB。特别地，如果AB是双曲线的两支焦点弦，则EF平分∠AEB的外角。

设直线AB与相应准线交于P，根据射影几何的极点极线理论，F和P分别为线段AB的内外调和分割点，所以有EF内平分∠AEB。特别地，如果AB是双曲线的两支焦点弦，则F是外调和分割点，所以EF外平分∠AEB。

如果不用射影几何来证明，也可以采用相似证法。

过A、B分别作轴的垂线，垂足为C、D，则根据两直线平行，内错角相等可知只需要证明∠EAC=∠EBD即可。

若设AB与轴的夹角为θ（0<θ≤90°），在Rt△EAC中和Rt△EBD中，

因此∠EAC=∠EBD，得证。

同理可证当AB是双曲线的两支焦点弦时，此时准线平分∠AEB。而EF⊥准线，所以EF外平分∠AEB。

推论：若设AE与圆锥曲线交于另一点C，则根据对称性，B和C关于x轴对称，且由平面几何的知识可知△CEF≌△BEF。

六、设AB是焦点弦，焦点为F，D为顶点。连接AD、BD分别交准线于M、N，则∠MFN是直角。

以抛物线为例，要证明∠MFN是直角，只要证 。

设 ，准线为 。

抛物线的顶点恰好为原点O，所以

同理，

所以

而 ，代入上式得

设 ，联立抛物线方程，整理得

由韦达定理， ，代入上式并化简即得到

七、焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上，并且该交点与焦点的连线垂直于这条焦点弦。反过来，过准线上任意一点作圆锥曲线的两条切线，连接这两个切点的直线将通过焦点。

事实上这个性质涉及到极点和极线的理论，可以参考下文补充。

以双曲线左焦点弦为例（同支或两支均可），左准线方程为 。设两条切线交于 ，那么焦点弦AB的方程为 。因为左焦点 在AB上，代入方程可解得 ，即M在左准线上。

当AB斜率不存在时， ，缺少含y的项，所以方程 中的 ，即 。此时M在x轴上，有AB⊥FM。

当AB斜率存在时，由方程 可得

又

所以 ，即AB⊥FM

反过来，过准线上一点 作双曲线的两条切线MA、MB，则AB方程为

把它整理成 的形式即可知F在AB上。

八、过焦点弦的一端作准线的垂线，连接垂足和焦点弦的另一端，则连线平分焦点与准线和轴交点之间的线段。

设AB是焦点弦，焦点为F，准线和轴交于E。过A作AM⊥准线于M，连接BM，则BM平分EF。

要证明该命题，只要证BM与x轴交点为EF中点即可。

设BM交x轴于P，根据相似三角形的性质， 。

利用性质四对上式进行化简：

即PF的长度是焦准距EF的一半，所以命题成立。

特别地，对于抛物线来说，E和F的中点恰好是坐标原点O，所以可以得到直线BM过点O的结论。

该性质具有对称性，即过B作BN⊥准线于N，连接AN，则AN平分EF。也就是说直角梯形AMNB的两条对角线的交点恰好是EF中点。

九、设焦点弦AB（双曲线为同支）不与轴平行，它的垂直平分线与x轴交于G，F是相应的焦点，则AB:FG是定值2/e。

根据对称性，只需要考虑AF≥BF的情形，此时AB中点M必定在线段AF上。

利用平面几何。过A、B分别作x轴的垂线于D、E，则得到三组相似三角形△AFD∽△GFM∽△BFE。

所以

两式相乘，得 ~~~①

令AB=2d=FA+FB，AB的倾斜角为θ，那么AM=BM=d

FD=FA|cosθ|，FE=FB|cosθ|

当AB是椭圆、抛物线和双曲线的同支焦点弦时，FM=FA-AM=BM-FB，即FM=FA-d=d-FB

代入①得到

化简得 ~~~②

根据性质四，

再根据焦点弦公式， ，得

代入②得

所以

什么是二次曲线的极线

设 为常态二次曲线（不包括退化的情况如两条相交直线、一条直线、一个点甚至没有图像的情况）， 为平面内任意一点（但如果S有中心，则P不包括该中心），把直线 叫做点P关于S的极线，其中，点P则叫做直线l关于S的极点。

在这样的定义下，有心二次曲线的中心没有极线，并且

定理1 （配极理论的原则）.：若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P；

定理2：通过一点P而且与一个常态二次曲线相切的直线，它的切点在点P的极线上；

定理3：椭圆、双曲线、抛物线焦点的极线是相应的准线；

定理4：如果椭圆、双曲线、抛物线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点；

由于在射影平面内，圆的焦点是圆心，准线是无穷远直线，故定理4又可推广为：

定理5：如果常态二次曲线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点；

（特别：如果圆的两条切线平行，则切点弦是圆的直径）。

不言而喻，更一般还有

定理6：(1)点E是常态二次曲线内部一点，但不是有心二次曲线的中心，如果该曲线的两条切线的交点在点E的极线上，则过切点的直线必过点E；

(2)如果有心二次曲线的两条切线平行，则过切点的直线必过中心点。