群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。酉群是一类重要的典型群。在复数域的特殊情形，全体n×n酉方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次酉群，记为U(n)。

特殊酉群(special unitary group)是酉群的一个重要子群。酉群Un(K，f)的子群Un(K，f)∩SLn(K)称为特殊酉群，记为SUn(K，f).U(n)的特殊酉群记为SU(n)。若Un(K，f)不是正交群，f是迹形式且指数≥1，则Un(K，f)含有平延，称为酉平延。此时Un(K，f)中全体酉平延生成一个正规子群Tn(K，f)，称为酉平延群。若K交换，则除Un(K，f)=U3(F4，f)的情形外，Tn(K，f)=SUn(K，f)。当Un(K，f)是辛群时酉平延改称辛平延，此时Tn(K，f)=Spn(K，f).SUn(K，f)和Tn(K，f)在自然同态GLn(K)→PGLn(K)下的像PSUn(K，f)和PTn(K，f)分别称为射影特殊酉群和射影酉平延群。除少数例外情形外，PTn(K，f)是单群，例外情形是：Sp2(F2)，Sp2(F3)，Sp4(F2)及Un(K，f)≠Spn(K，f)时是：PU2(F4，f)，PU2(F9，f)，PU3(F4，f)。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

典型群是一类重要的群。一般线性群、酉群、辛群、正交群，以及它们的换位子群、对中心的商群等统称为典型群。实数域和复数域上的典型群是李群的重要例子，它们的构造及表示在李群理论、几何学、多复变函数论以至物理学中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通过对有限域上典型群的构造的研究得到了一大批有限单群.这是继交错群之后人们发现的又一批重要的有限单群系列.经过谢瓦莱(Chevalley，C.)的工作进一步扩展为有限李型单群的系列后，为有限单群分类的最后完成奠定了一个重要基础。迪厄多内(Dieudonné，J.)将迪克森的工作加以推广，通过研究任意体上的典型群的构造也得到了大量的单群。迪厄多内、施赖埃尔(Schreier，O.)、范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)、华罗庚、万哲先等对研究典型群的构造、自同构及同构作出了重要贡献。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H.若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

酉群是一类重要的典型群。在复数域的特殊情形，全体n×n酉方阵在矩阵乘法下构成的群称为n次酉群，记为U(n)。一般地，设K是带有对合J：a→a-的体，V是K上n维列向量空间，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，这里H∈GLn(K)且=εH，ε=±1.若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)对所有的x，y∈V成立，则称A是关于f的酉变换。关于f的全体酉变换组成GL(V)的一个子群，称为关于f的酉群，记为Un(K，f).从矩阵的观点看，Un(K，f)={A∈GLn(K)|HA=H}。当f是交错双线性型时Un(K，f)就是辛群Spn(K，f);当K的特征≠2且f是对称双线性型时Un(K，f)就是正交群On(K，f);当K是复数域，J是复共轭，H=I时，酉群Un(K，f)就是酉群U(n)。

特殊线性群亦称幺模群。一般线性群的一个重要的子群。对A∈GLn(K)，若矩阵A-I的秩是1并且(A-I)=0，则称A为平延。GLn(K)中所有的平延生成一个正规子群，称为K上n次特殊线性群，记为SLn(K)。SLn(K)也可由全体形如I+λEij(i≠j，λ∈K)的初等矩阵生成，这里Eij表示第(i，j)元素为1，其余元素为0的n×n矩阵。当K交换时，SLn(K)就是GLn(K)中行列式为1的全体矩阵组成的子群。除SL2(F2)外，SLn(K)是GLn(K)的换位子群。