例如 D3 群，D3={E,D,F,A,B,C}，其中 E 为恒元， D、F 为绕等边三角形中点逆时针旋转 2π/3 和 4π/3 ，A,B,C 为绕三个对称轴的翻转。其中，可取生成元为 {D,A} ，E=D3=A2，F=D2，B=AD，C=DA；也可取生成元为{F,A}，E=F3=A2，D=F2，B=FA，C=AF。
设S是群G的一个
非空子集，令M是G中所有包含S的子群所组成的集合，即M={H
自由李代数
[free Lie algebra]
设 X 为非空集合。若域 K 上的李代数 带有一个单射 ，使得对于任何 K 李代数 及映射 ，使得 ，则称 是 X 上的一个自由李代数。
在同构意义下，非集合 X 上的自由李代数存在且唯一。事实上，设 为 X 上的自由结合代数，于是 关于括号积 做成一个李代数。此李代数的由 X 生成的李子代数即为 X 上的一个自由李代数，而 为其泛包络代数。
若 为 上的一个自由李代数， 为 的由 生成的理想。则称 为生成元，为 ，关系（relation）为 的李代数。