皮亚诺公理是意大利皮亚诺所构造的算术公理系统中的公理。1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以1而不是0作为基本概念。在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用的皮亚诺算术公理系统。

目的是定义自然数集合，首先需要承认的是集合具有的一些运算性质，例如：a=b时a,b代表的是同一个元素。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由0, 1构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密，我们还得再加一条。

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3，0.22），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。

若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：

Ⅰ、X是一集合，x为X中某些元素，f是X到自身的映射；

Ⅱ、x不在f的像集内；

Ⅲ、f为一单射。

Ⅳ、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A，则A=X。

该结构与由皮亚诺公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的：

1° 自然数集P不是空集；

2° P到P内存在a→a直接后继元素的一一映射；

3° 后继元素映射像的集合是P的真子集；

4° 若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。

能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理。

例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据。

我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：

Ⅰ、∀m∈N，0+m =m；

Ⅱ、∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。

1+1=2

1 + 1

= 0’ + 1 （根据自然数的公理）

= （0 + 1）’（根据加法定义Ⅱ）

= 1’ （根据加法定义Ⅰ）

= 2 （根据自然数的公理）

结合律

证明对任意的a,下述命题成立：

∀b,c，(a+b)+c=a+(b+c)。

当a=0时，

(0+b)+c=b+c(加法定义Ⅰ)

=0+(b+c)(加法定义Ⅰ)，命题成立。

假设命题对a成立，则对a'：

任给b,c,有(a'+b)+c=(a+b)'+c=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a'+(b+c),命题也成立。

由公理Ⅴ，命题成立。由此即得结合律a+(b+c)=(a+b)+c。

m'=1+m

当m= 0 时，1+m=1+0=0'+0=(0+0)'=0'，命题成立。假设该命题对n成立，对n'：1+n'=0'+n'=（0+n'）'=（n'）',命题亦成立。由公理Ⅴ，即知命题对m的其他自然数取值也成立。

m'=m+1

当m= 0 时，对于m'，m'=0'=1=0+1=m+1,命题成立。对(m')'，(m')'=(m+1)'=m'+1，命题也成立。由公理Ⅴ，即知命题对m的其他自然数取值也成立。

m+0=m

（1）当m=0 时，m+0=0+0=0，m=0，于是m+0=m成立，即m+0=m在m=0时成立；

（2）假设m+0=m在m=k时成立，即k+0=k，那么当m=k'时，m+0=k'+0=(k+0)'=k'，m=k'，于是m+0=m成立，即m+0=m在m=k'时成立。由此，如果m+0=m在m=k时成立，那么m+0=m在m=k'时成立；

由（1）（2）得，m+0=m恒成立。

由公理Ⅴ，即知m+0=m对于m的其他自然数取值也成立。

交换律

现证对任意的自然数n，下述命题为真：

∀自然数m,n+m=m+n。

当n=0时，对于n，n+m=0+m=m=m+0=m+n，对于n'，n'+m=(n+m)'=(m+n)'=m'+n=m+1+n=m+0'+n=m+(0+n)'=m+n'，交换律成立。

由公理Ⅴ，即知交换律对于n的其他自然数取值也成立。

乘法是满足以下两种规则的运算：

Ⅰ∀自然数m，m · 0 = 0 ；

Ⅱ∀自然数m，n，m · n' = m ·n +m 。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的乘法定义，任意两个自然数相乘的结果都能确定出来了。

m·(n+k)=m·n+m·k。

证明：

当n=0时, m·(0+k)=m·k =0+m·k=m·0+m·k，

因此乘法分配律对n=0成立。

假设结论对n成立, 下证结论对n'成立。

m·(n'+k)=m·(n+k)' (加法定义)

=m·(n+k)+m (乘法定义)

=(m·n+m·k)+m (归纳假设)

=m·n+(m·k+m)=m·n+(m+m·k)=(m·n+m)+m·k(加法结合律、交换律)

=m·n'+m·k (乘法定义), 因此结论对n'也成立, 由数学归纳原理知, 乘法分配律成立。

(m·n)·k=m·(n·k)。

当k=0时，(m·n)·0=0 (乘法定义)

m·(n·0)=m·0=0 (乘法定义)。

假设结论对k成立, 即(m·n)·k=m·(n·k)。下证结论对k'成立。

(m·n)·k'=(m·n)·k+m·n (乘法定义)

m·(n·k')=m·(n·k+n) (乘法定义)

=m·(n·k)+m·n (乘法分配律)

=(m·n)·k+m·n (归纳假设), 因此结论对k'也成立, 由数学归纳原理知, 乘法结合律成立。

0·n=0

当 n=0时，由乘法定义0·0=0, 结论成立。

假设结论对n成立, 即0·n=0。 下证结论对n'成立。

0·n'=0·n+0 (乘法定义)

=0+0 (归纳假设)

=0 (加法定义)

因此, 0·n'=0, 结论对n'也成立, 由数学归纳原理知，结论成立。

n'·m=n·m+m

当m=0时, 由于n'·0=0(乘法定义)

又n·0+0=0+0 (乘法定义)

=0 (加法定义), 因此n'·0=n·0+0, 结论成立。

假设结论对m成立, 即n'·m=n·m+m. 下证结论对m'成立。

n'·m'=n'·m+n' (乘法定义)

=(n·m+m)+n' (归纳假设)

=(n·m+m)+(n+1) (后继运算)

=(n·m+n)+(m+1) (加法运算的性质)

=n·m'+m' (乘法定义和后继运算)

因此结论对m'也成立, 由数学归纳原理结论成立。

m·n=n·m。

当m=0时, 0·n=0=n·0, 结论成立。

假设结论对m成立, 即m·n=n·m. 下证结论对m'成立。

n·m'=n·m+n (乘法定义)

=m·n+n (归纳假设)

=m'·n(前文结论)

因此结论对m'也成立, 由数学归纳原理乘法交换律成立。

定义整数为自然数对（a,b）；定义：如果a+d=b+c，则(a,b)=(c,d)；定义整数加法为(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)；定义(a,b)的相反数为（b,a）。将(a,0)和a等同。则可以证明自然数是整数的一部分，加法的定义是相符的。这样，在整数上，我们有相反数的概念。整数和它相反数的和是0，0和任意整数的和是其自身。在整数上，定义a-b为a+(-b)。可以验证，这样的定义与通常理解的整数加减法是一致的。

进一步定义有理数为整数对[a,b]，其中b非零。定义[a,b]=[c,d]如果ad=bc。定义有理数乘法为[a,b][c,d]=[ac,bd],定义[a,b]的倒数为[b,a]，如果a,b非零。定义有理数加法为[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]，定义[a,b]的相反数为[-a,b]，定义a-b为a+(-b)。将[a,1]和a等同，则可以证明整数是有理数的一部分，加法减法乘法的定义是相符的。这样，在非零有理数上，我们有倒数的概念。非零有理数和它倒数的积是1，1和任意有理数的积是其自身。在有理数上，定义a/b为a(1/b)，如果b非零。可以验证，这样的定义与通常理解的有理数加减乘除法是一致的。

如果大家对这方面问题感兴趣的话，可以尝试证明前文中“可以验证”的内容，也可以看看来知道具体是怎么证明的。

皮亚诺公理是意大利数学家皮亚诺在1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身始终被延用。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的 ε-δ 语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上。

可以定义一个只有加减法的代数系统为阿贝尔群，这里满足：

1° 结合律，；

2° 零元素，；

3° 相反数，每一个元素都有相反数，满足；

4° 交换律，.

在此基础上，可定义减法：。

不过也存在（可以定义）其他的公理体系和代数系统，例如，定义为两个元素的集合{奇数，偶数}，其中：偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。将偶数视为零元素，其相反数也为偶数，奇数的相反数为奇数。这样定义的加法和减法也符合加减法的基本运算规则。于是就得到了和整数不一样的一个阿贝尔群。

类似地，可以定义为含有个元素的集合{n的整数倍，n的整数倍+1，……，n的整数倍+n-1}，可记作：。这样的阿贝尔群在数学上被称作群。（如果在前文中所定义的代数系统中将公理2改为定义的后继为零元素的话，也可以得到群。）群就是前文中{奇数，偶数}群，群「以奇偶性对元素分类」可以看作是群「以的余数对元素分类」在时的特殊情况。

在阿贝尔群的定义中去掉交换律即可得到群的定义。

那如果有加减乘三种运算呢？定义交换环为(G,+,*),其中为阿贝尔群，（G,*）满足结合律和交换律，且有分配率：a(b+c)=ab+ac。如果去掉乘法交换律则称为环。例如（有限小数，加法，乘法）就构成了一个交换环。

同时拥有加减乘除四种运算的代数结构称为域。其正式的定义是，一个交换环(G,+,*)被称为域，如果存在乘法单位元1，满足1·a=a=a·1,且除0外的所有元素a都有倒数1/a,满足（1/a）a=1=a(1/a)。定义域上的除法为a/b=a(1/b)。

例如，{奇数，偶数}附加乘法运算：偶数×偶数=偶数×奇数=奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，之后成为交换环，奇数就是乘法单位元。这被称作二元数域。一般地，前文中所说的Zn也可类似地构成交换环，在n为素数的情况下构成域。

如果定义另一种系统，这个系统有零、一、二、三……等元素，那么会怎么样？表面上看0和零，1和一似乎是完全不一样的东西。但是，如果看它的本质内涵的话，0和零只是本质上一样的东西用不同的语言描述罢了。在数学上，有理由认为本质上相同的东西是同一个东西。用专业术语来说，就是“同构”。

严格地，定义两个结构同构，如果它们的元素一一对应，且满足相同的运算。例如1和一对应，2和二对应，1+1=2对应过去后写做一加一等于二，刚好和原有的加法定义一致。

更加深奥的概念是部分同构，换句话说两者只有在只考虑某种运算的情况下是一致的。一个例子就是半整数(0,1/2,1,3/2,2,5/2,…，-1/2,-1,-3/2,-2,…)和整数。我们可以让整数中的1看做半整数中的1/2，整数中的n和半整数中的n/2对应，则只考虑加法的话，这两个阿贝尔群是同构的！可以这样通俗地理解：整数中1看做加法单位，2看做两个单位，然后让1/2成为半整数单位。然而，你也许会问(1/2)×(3/2)=3/4怎么办？这实际上表明，半整数只能成为群，而无法成为环。它只有加法一个结构，而这个结构和整数的加法结构是一样的。更一般地，{0/n,1/n,2/n,…,-1/n,-2/n}也有一个和整数相同的加法结构。2并无特殊性。

在前文中半整数的1既可以看文字，与整数中1对应，又可以看内涵与整数2对应。这种既相同又不同的性质， 同构和不同构，同一性和差异性蕴含着深厚的哲学思想。研究代数结构是否同构，共有多少种互不同构的代数结构，一直都是代数学的核心任务。