直角三角形斜边中线定理是平面几何中的一个重要定理，其内容为：直角三角形斜边上的
中线等于斜边长度的一半。其在解
三角形问题中可以发挥重要的作用。
定理内容
直角三角形的斜边中线长等于斜边长的一半。
在直角三角形中，，点是斜边的中点，则有。
定理证明
方法一：倍长中线构造全等三角形
延长至点使得，连接。
因而在和中，有
可知（判定依据为SAS）。则由全等三角形的性质可得到，。
因而，则，故而和均为直角。
在和中，有
可知（判定依据为SAS）。故而可得。
而又由可知，故而有，原命题得证。
方法二：平面向量
由是边的中点可知，则有
在直角三角形中有故而，则有
而由可知
因而可得，即，原命题得证。
由此方法可进一步推得，对于一般的三角形，有。这条性质又被称作“三角形中线定理”。
方法三：建立平面直角坐标系
以为原点建立平面直角坐标系。
设，，则
由点是边的中点可知，则
因而有，原命题得证。
逆命题
直角三角形斜边中线定理的前提：①是直角；②是边上的中线。推出结论：③长为长的一半。
由此可以写出它的两个逆命题
逆命题1
如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。（前提：②和③；结论：①）
该命题是真命题。证明如下：
由且为中点可得，即和均为等腰三角形。
则有
因而可得
即是直角三角形，且边为直角三角形的斜边。
该命题得证。
逆命题2
直角三角形斜边上一点到直角顶点的距离是斜边长的一半，则该点为斜边中点。（前提：①和③；结论：②）
该命题是假命题，可以举反例证伪，如下：
取直角三角形，且边为其斜边，，。过点作边上的高，垂足为。
由勾股定理可得，取其中点，则，且由直角三角形斜边中线定理可知。
由射影定理可得，取关于点的对称点，可知。且。
即点也在边上且满足，但是点不是边的中点。该命题不成立。
改动后的逆命题2
然而，只需要稍微更改逆命题2的条件③，记为④：或。即可得到一个真命题：
直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线等于该点分斜边所得两条线段中任意一条时，该点为斜边中点。（前提：①和④；结论：②）
该命题是真命题，证明如下：
在直角三角形，边为其斜边。由已知条件，不妨令，，则可知为等腰三角形，。
故而，。
则有，故，点为边的中点。
该命题得证。
应用举例
例1 直角三角形和的斜边重合，证明、、、四点共圆，且恰为该圆的直径。
证明：
取的中点，那么。
由直角三角形斜边中线定理，，即得证。
例2 在平行四边形中，，于点，和相交于点，且。求的大小。
解：取的中点，连接。
在平行四边形中有，故，则是直角三角形。因而由直角三角形斜边中线定理可得。
而由已知条件得，故而。
设,则，，。
故而由可得方程
解之得。
因而在直角三角形中可解得。
即的大小是。