覆盖设计(covering design)是t设计的一种推广，设X为v元集，B为X的某些k元子集的族，若X的任一t元子集至少包含在B的λ个成员(区组)中，则称(X，B)为t-(v，k，λ)覆盖设计，t-(v，k，λ)设计也是一个覆盖设计。对给定的参数t，v，k，λ，使t-(v，k，λ)覆盖设计存在的最小区组数称为覆盖数，记为Cλ(v，k，t)。哈拿匿(H.Hanani)证明：对每一正整数λ及v≥3有Cλ(v，3，2)=Bλ(v，3，2)+ε，其中，当λ(v-1)≡0(mod 2)且v≡λ≡2(mod 3)时ε=1，否则ε=0，米尔斯(W.H.Mills)等人对每一正整数λ及v≥4给出了覆盖数Cλ(v，4，2)的确切值，当t≥3时，C1(v，4，3)=B1(v，4，3)，其中v不恒等于7(mod 12)。

定义 给定正整数t，v，k，λ，设X为一个v元集，B为由X的k元子集(称为区组)所组成的子集族，若X的任意一个t元子集都至少包含在λ个区组中，则称(X，B)为一个t-(v，k，λ)覆盖设计(covering design)。令

Cλ(v，k，t)={min b|存在区组数为b的t-(v，k，λ)覆盖设计},

Cλ(v，k，t)叫覆盖数(covering number)，若(X,B)是区组数为Cλ(v，k，t)的t-(v，k，λ)覆盖设计，则叫做最小(或最优)t-(v，k，λ)覆盖设计，通常将C1(v，k，t)简记作C(v，k，t)。

【例1】设X=Z10，

A：{0，1，2，3}，{0，4，5，6}，{1，4，7，8}，{2，5，7，9}，{3，6，8，9}，

B：{0，1，2，9}，{0，3，4，8}，{0，5，6，7}，{1，2，3，4}，{1，2，5，6}，

{1，2，7，8}，{3，4，5，6}，{3，4，7，9}，{5，6，8，9}.

则(X,A)是一个2-(10，4，1)填充设计，(X，B)是一个2-{10，4，1}覆盖设计，设A'为A的任一子集，则(X，A')也是2-(10，4，1)填充设计。设B'为在B中添加X的若干4元子集而得，则(X，B')也是2-(10，4，1)覆盖设计。

【例2】若t-(v，k，λ)设计存在，则它既是最大t-(v，k，λ)填充设计，又是最小t-(v，k，λ)覆盖设计。

设x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，[x]为不小于x的最小整数，令

当λ=1时，将U1(v，k，t)记作U(v，k，t)，将L1(v，k，t)记作L(v，k，t)。

关于填充数Pλ(v，k，t)的上界和覆盖数Cλ(v，k，t)的下界。我们有如下结果。

定理1(Schönheim界)

证明显然有

即当t=1时结论成立，今设t≥2，(X，A)为一个t-(v，k，λ)填充设计。对任意x∈X，Aλ(v-1，k-1，t-1)。因此有

,从而由式(3)及归纳法即得式(1)，同理可得 由式(4)及归纳法得式(2)，从而即得结论。

当t=2时，H.Hanani进一步证明了以下结论。

定理2设λ(v-1)≡0(mod(k-1))。

(i)若λv(v-1)/(k-1)≡1(mod k)，则

(ii)若λv(v-1)/(k-1)+1≡0(mod k)，则