确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数完备性的命题之一。

上界和下界

设实数集S非空。若存在实数M， ，有 ，则称M是S的一个上界。而若存在实数m， ，有 ，则称m是S的一个下界。

显然，所有大于M的数都是S的上界，所有小于m的数都是S的下界。因此一个数集的上界（或下界）不是唯一的。

上确界和下确界

设非空数集S有上界，若存在实数β满足以下两个条件：

① ，有 ；（即β是S的一个上界）

② ，有 。

则称实数β为S的上确界，记为 。

同理，若存在实数α满足以下两个条件：

① ，有 ；（即α是S的一个下界）

② ，有 。

则称实数α为S的下确界，记为 。

有时上确界也被叫做最小上界，下确界也被叫做最大下界。

注意：S的上确界（或下确界）可能属于S，也可能不属于S。当上确界（或下确界）属于S时，不难证明上确界（或下确界）就是S中的最大数（或最小数）。

确界原理：任一有上界的非空实数集必有上确界（最小上界）；同样任一有下界的非空实数集必有下确界（最大下界）。

实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。

由戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界同理。

设S为一非空有上界数集，即 成立。取数集B为S所有上界的集合，A=CRB。则：

①由取法可知 ，故 。 ，故 ，因此 。

② 。

③∵A中任何元素都不是S的上界，∴ 。

又∵B中任何元素都是S的上界，∴ 。

故必有 。

∴由戴德金定理可知，要么A中有最大值，要么B中有最小值。设这个值为η，并且 ， 恒成立。

假设η是A中的最大值，即 ，那么， 。

又∵ ，∴ 。

但， ，与B中任何元素都是S的上界矛盾。

∴η是B中的最小值，即S有最小上界（上确界）。

若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞＜a＜+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。

即： 任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）

确界原理作为整个极限理论的基础，并且由于它直观易懂，经常代替戴德金定理作为实数公理，从而导出一系列与极限相关的性质，如单调有界定理，柯西审敛原理等。在此简单介绍用确界原理推导柯西审敛原理。

柯西审敛原理：数列{xn} 收敛的充要条件是，，，当时，有。

我们把条件“，，当时，有”称为柯西条件，把满足柯西条件的数列称为柯西序列，于是{xn}收敛就等价于{xn}是柯西序列，或{xn}满足柯西条件。

其几何意义表示，数列{xn}收敛的充要条件是，对任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点xn中，任意两点的距离小于ε。

证明：

必要性：（略，可参考相应词条）

充分性：先证明柯西序列是有界的。

因{xn}是柯西序列，，，当时，有。

注意一旦ε确定之后，就被当做常数，于是由上述不等式以及三角不等式解得，因此当时，{xn}有界。而把数列的前N项添加进去显然还是有界的，于是得到对任意自然数n，{xn}有界。设。

现构造一个集合S，集合S中的元素x满足：在区间上最多有{xn}的有限项且至少有一个{xn}的项。显然，于是S非空；而S又是有界的，M是一个上界。这是因为假设M不是上界，即存在，使得，即，与S的定义不符。

根据确界原理，S存在上确界，设，现证。

，考虑区间，这个区间上必然有{xn}的无限项。不妨设，且。

因{xn}是柯西序列，由定义，对上述的ε，，令，当时，任取某个，有

∴