积分在不同的背景下有不同的意义：一方面，积分可以视作微分的逆运算，即给定函数的导函数，求原函数的过程；另一方面，积分可以视作自变量在一个范围内被分割为无穷多个小的“微元”后，函数值相加得到的极限。

自古以来，数学家们在探索图形面积、曲线长度等问题的过程中，逐步孕育了微积分的思想萌芽。古希腊时期，阿基米德巧妙运用“穷竭法”，成功解决了抛物线、弓形等复杂曲边图形的面积计算难题。同时，欧几里得的《几何原本》与阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》作为数学史上的经典之作，对后世产生了深远的影响。

在中国古代，魏晋时期的数学家刘徽，在继承前人智慧的基础上，独创“割圆术”，通过计算正3072边形的面积来逼近圆面积，进而得出圆周率的近似值 。随后，南北朝时期的祖冲之将其精度提升至 ，领先当时世界一千多年水平。

然而，这些研究大多聚焦于具体问题的解决，尚未形成系统化的微积分理论框架。直至17世纪，在以牛顿与莱布尼兹为代表的科学家的努力下，微积分正式脱离了单一的几何问题范畴，发展成一门独立的学科。他们不仅发现了微积分基本定理（亦称“牛顿-莱布尼兹公式”）这一重要的公式，还提出了链式法则、无穷级数等，为微积分广泛应用于计算奠定了坚实的基础。尽管这一时期微积分理论取得了巨大进展，但仍遗留下了关于“无穷小量是否存在”等悬而未决的问题。

随后的几个世纪里，数学家们不断努力，致力于将微积分构建为一个更加严谨、系统的学科体系。18世纪的欧拉与泰勒等人，将无穷级数应用于指数函数、三角函数中，还给出了著名的泰勒展开公式。19世纪，柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等数学家则对微积分中的基本概念给出了更为严谨、可靠的定义，如柯西将“无穷小量”定义为“以零为极限的变量”，从而解决了长期以来关于无穷小量存在性的争议。此外，这一时期还涌现出了如“狄利克雷函数”等关于函数连续性和可微性的反直觉反例，促进了数学家们对数学理论体系构建过程的反思。

进入20世纪，“勒贝格积分”的提出标志着实函数积分概念在近代的最后一次重大飞跃。这一理论在更弱的前提条件下推广了传统的积分概念。同时，鲁滨逊提出的“非标准分析”则为前期“无穷小量”概念的使用提供了坚实的逻辑基础。

不定积分是微分的逆运算。对于一元函数和，如果满足：

那么有：

由于常数函数求导后为0，结合求导运算的线性性，一般地，可以写为：

求不定积分常用的公式包括下面这些，应用这些公式有时可以将待积函数变换为更容易找出原函数的形式：

第一类换元公式

如果待积函数中具有“整体”特点较强的部分，可以对该部分进行整体的代换。具体地，如果，那么有：

例如，令，则有：

第二类换元公式

如果待积函数中具有形如等的部分，可以将函数自变量替换为更便于利用三角恒等式的形式。具体地，令，那么如果下式右侧存在，则有：

例如，令，则有：

最后利用可得：，。从而可以将上式结果最终写为关于的形式：

分部积分公式

利用函数乘积的求导公式，可以推出分部积分公式。设函数和，则有：

例如，当时，由上述公式有：

为了更方便地计算不定积分，大量已知的不定积分结果被汇总成积分表，以便使用者查阅。由于积分表包含的内容较多，此处将省略其具体内容。

应用中可以通过前述的公式，将原积分表达式变换为积分表中的形式，再直接套用积分表中的结果。

考虑在实数区间上有定义的函数，并在上给出满足的区间族作为其剖分，称为剖分的最大直径。

取，那么称函数在区间上的黎曼和为：

当极限存在时，定积分有定义：

从几何角度，在函数性质足够好时，定积分描述了函数图像和直线，， 轴围成的曲边梯形的正向面积——即，在轴上方部分的面积被记为正，在轴下方部分的面积被记为负。利用定积分可以计算含曲边几何体的面积，变速运动的路程，变力做功等。

求定积分常用的公式包括下面这些：

微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）

这是求定积分最常用的方法之一，也是分析学的一个基本公式。只要能够计算出待积函数的一个原函数，就可以通过该公式计算出定积分。具体地，对于一元函数和，如果满足：

那么有：

上式右侧有时也被记作。即：

例如对于，在上满足，那么可以得到：

这意味着函数图像 与直线，， 轴围成的曲边梯形的面积为。

另外，如果待积区间涉及无穷，同时和存在；或者如果仅在开区间上有定义但和存在，那么只需用极限值替代，上式依然可以成立。此时的积分被称为“反常积分”。

例如对于，在上满足，那么可以得到：

又如对于，在上满足，那么可以得到：

换元公式

在不定积分中成立的第一类、第二类换元法，在定积分中也成立。更具体地：

例如：

分部积分公式

定积分也有与不定积分类似的分部积分公式。对于函数和有：

例如：

除了上述方法以外，实际的工程应用中可能会引入计算机工具。通过直接计算剖分最大直径足够小时黎曼和的数值，并用此值来作为定积分值的近似解，这种方法可以回避求原函数或是利用积分公式作恒等变形的过程。

有些定积分用上述方法很难直接得出结果。它们的计算可能需要引入含参积分、多元函数积分、复积分等工具。下面是一些例子：

华莱士(Wallis)公式

对于正整数有：

狄利克雷(Dirichlet)积分

高斯(Gauss)积分

以平面区域为例，考虑在上有定义的二元函数，并在上给出一个可求面积的小区域剖分满足：，且有，称为剖分的最大直径。取，那么称函数在区域上的黎曼和为：

当极限存在时，重积分有定义：

对于任意的更高维的多元函数，也可以类似地定义黎曼和。其极限即为对应的重积分。

求重积分常用的方法包括下面这些：

化为累次极限（富比尼定理）

在函数性质足够好的情况下（例如有界的连续函数），重积分可以被化为累次积分。即，先对一个自变量做定积分，再对另一个自变量做定积分。此方法在大多数实际应用的情形中均有效。该定理又被称为富比尼定理。

例如对于单位圆围成区域上对有界连续函数积分，考虑圆的方程可以被写为，从而有：

换元公式

相较于一元实函数的定积分换元公式，重积分的换元是更复杂的。先以二元情形为例，如果平面内的区域经变换，变成平面内的区域，变换可以被表达为

的形式时（其中与均有连续的一阶偏导），将会由此形成一个可逆的雅可比(Jacobi)矩阵，为

的形式。其行列式将在换元公式中起到重要的作用。

例如极坐标变换的雅可比矩阵

的行列式为。

二元函数在该情形下的换元公式为：

对于三元及以上函数的换元，形式也大致相同。对于变换

的雅可比矩阵

的行列式值，给出类似的换元公式为：

区别于多元实函数的积分，曲线积分与曲面积分的积分区域与处于欧氏空间（一般考虑二维或三维）中的曲线或曲面有关。当然，这一过程也可以推广到更高维的空间或是更复杂的流形上，此处略去不提。其值仍为对积分区域做微元后，累加各微元内的函数值，并取极限最终得到。其主要的表现形式与对应的计算公式如下：

第一型曲线积分

对平面或空间中的一条曲线做微元，微元上的函数值累加并求极限所得。对于曲线，其上的第一型曲线积分的形式为

其计算依赖于曲线的参数方程。二维情形下，如有

则有

三维或更高维情形下，如有

则有

第二型曲线积分

与第一型曲线积分直接在曲线上做微元不同，第二型曲线积分关注的是曲线在坐标轴上的投影。对于曲线 ,其上的第一型曲线积分的形式为

应用情形如变力将物体从A移到B的过程中在空间内做功的计算，可将其分解为正交方向上的变力做功后相加。于是第二型曲线积分可以对应地写成

其中。

其计算同样依赖于曲线的参数方程。二维情形下，如有

则有

三维或更高维情形下，如有

则有

以上是曲线积分的形式与计算公式。

第一型曲面积分

将空间中一可求面积的曲面分割成小微元，函数值黎曼和的极限为第一型曲面积分。此处仅以三维情形为例，对于曲面S，其上的第一型曲面积分的形式为

其计算依赖于曲面的参数方程。,若

那么有

其中

。由上述公式可以将第一型曲面积分转化为二重积分。

第二型曲面积分

第二型曲面积分关注的是有向曲面在坐标轴平面上的投影。对于有向曲面S，其上的第二型曲面积分的形式为

其中,正负号分别对应曲面的法向量(方向与有向曲面的朝向一致)与z轴夹角成锐角或钝角的情形。由此式可立即将第二型曲面积分转化为二重积分。

应用情形为计算向量场通过有向曲面S的流量。因此，第二型曲面积分还可以写为如下形式，从而在曲面法向量易于计算的情况下转化为第一型曲面积分：

其中n(x,y,z)是有向曲面S在点(x,y,z)处的单位法向量。

除了前面所述，曲线与曲面积分之间还有以下关系。求解时应用这些公式可能减小计算量。

格林(Green)公式

设有界闭区域,其边界是分段光滑闭曲线，D上有可微的向量场,为的单位法向量，为的单位切向量。那么有

或者记为

又或者记为

上述公式建立了二重积分与第二型曲线积分之间的联系。

高斯(Gauss)公式

设有界闭区域,其边界是分片光滑闭曲面，V上有可微的向量场,为的单位法向量。那么有

或者记为

上述公式建立了三重积分与第二型曲面积分之间的联系。

斯托克斯(Stokes)公式

设光滑曲面,其边界是分段光滑闭曲线，S上有可微的向量场,为的单位法向量，为的单位切向量。那么有

或者记为

又或者记为

上述公式建立了第二型曲线积分与第二型曲面积分之间的联系。

推广

对曲线和曲面的积分以及它们之间的关系公式，可以推广更至高维的流形上。微积分基本定理也可以视作斯托克斯公式推广后应用于一维的直线段上的特殊情形。对于第二型积分，还可以将其理解为微分形式在流形上的积分。

例如，对于维的边界可定向的紧流形,其上的k-1形式满足广义斯托克斯公式：

复积分也是分析学中重要的一部分。最后这一部分介绍一元复积分相关公式。

实函数积分可以直接用于定义复函数在区间上的积分。对于区间(a,b)上的连续复函数,其积分为：

对于更一般的复平面上的分段可微曲线上的连续复函数f(z),其积分为：

其本质仍然是函数值在微元后累加得到的极限值。

对于在复平面内的开圆盘D上除有限个点外解析的复函数f(z),如果有,那么对于D内不通过的任一闭曲线和不在该曲线上的任意一点,均有：

成立。其中是曲线对点z的环绕数，直观上看即曲线绕点旋转的圈数。

更一般地，只需f(z)在某区域内解析，闭链在区域内同调于零，则上式成立。

解析函数在孤立奇点上的留数定义为

对于极点a 处若有局部展开式，其中在a的邻域内解析，则

例如函数在两极点处的留数分别为, 。有了留数的定义，就可以利用留数定理来求解复积分。

对于复函数f(z)在某区域内除去孤立奇点外解析，闭链在区域内同调于零且不过奇点，那么有

成立。