积分第二中值定理_数学术语

积分第二中值定理

数学术语

积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常、Riemann积分判别法。积分第二中值定理包含三个常用的推论。

定理

设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上单调，则存在ξ∈[a,b]，使得

推导

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：。以下用表示从a到b的定积分。

首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明：设则

因在[a,b]上不变号，则由积分第一中值定理知，在[a,b]上至少存在一点ξ，使得

于是，有

即得证。

应用

在一些比较复杂的极限证明过程中应用积分第二中值定理可以得到很好的结果，而且计算过程简单易懂，证明方式也很多，下面给出它在各个方面的重要应用。

1.定理的直接应用

例1.设f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调递增且非负,在a,b处连续,那么在[a,b]上存在ξ,使

证明 :令x=b-t, ,因为h(t)非负且单调递减( 0

2.积分第二中值定理在证明不等式中的应用

例2.证明x>0时，

证明:取 ,由积分中值定理和它的推论可得:

3.积分中值定理在极限中的应用

例3.证明极限

证明：由积分中值定理和它的推论可得:令

令可知g(x)在[0,1]上连续,而且不变号。所以存在ξ使得因此有以下式子

参考资料

最新修订时间：2023-01-20 16:24

条目作者

概述

定理

推导

应用

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