空间轴反射变换(axial reflection transformation in space)也称“空间轴对称变换”、“空间轴对称”、“半周旋转”,是一种特殊的几何变换,是一种轴反射变换,且是第一种
正交变换,指的是空间任一点变为关于同一直线的对称点的变换。
基本介绍
轴反射变换简称轴反射,是欧氏几何中一种重要变换。在欧氏平面上或欧氏空间中,把任一点A映成关于给定直线S对称的点A′的变换称为关于直线S的轴反射变换,直线S称为反射轴。平面轴反射是第二种正交变换,空间轴反射变换亦称半周旋转,它是旋转角为π的空间绕反射轴的旋转,因而是第一种正交变换。在轴反射变换下,连结每一对对应点A,A′所得到的线段都垂直于S,且被S所平分。反射轴上的每一点都是不动点,在
平面直角坐标系中,若以x轴为反射轴,则轴反射的代数表达式为
其中(x,y),(x′,y′)分别是变换前的点与它的对应点的坐标。
轴反射(轴对称,半周旋转) 在旋转变换中,旋转的角可能是180°,于是第一图形上任意一点M的对应点,将是M对于它在轴上的射影m的对称点M'(图1)。
绕一直线作180°的旋转,叫做对于这直线的反射或轴反射(或轴对称,或半周旋转)。
这时,不需指出轴的指向,轴反射是自逆的,就是说,用同样的作法于求得的点M',便重新回到点M。.
由上面所说可知:可由轴反射互得的两个图形是全等的。
空间的
轴对称变换是空间的等距变换的特殊情形,因此,空间等距变换的所有一般性质,对于空间的轴对称变换都是正确的。
空间正交变换的分解
空间正交变换的分解是空间合同(正交)变换的重要特征之一,空间中任何合同变换都可以分解为若干平面反射之积,而且积中因子可以不超过四个。如果合同变换能表成偶数个平面反射之积,则是一个运动变换。如果合同变换能表成奇数个平面反射之积,则是一个第二种合同变换。具体地:
1.幺变换是任何一个平面反射与自身的积。
2.平移是两个反射面平行且垂直于平移方向的平面反射之积,两反射面的距离是平移距离的一半。
3.旋转是两个反射面相交于旋转轴的平面反射之积,两反射面的夹角是旋转角的一半,轴反射是半周旋转,可分解为反射面相交于对称轴且互相垂直的两个平面反射之积。
4.螺旋运动是旋转与平移的积,因而可分解为四个平面反射之积,其中两个表示旋转,两个表示平移。
5.旋转反射是旋转与平面反射之积,因而可分解为三个平面反射之积,其中两个之积表示旋转。
6.滑行反射是平移与平面反射之积,因而可分解为三个平面反射之积,其中有两个之积表示平移。