数学归纳法是一种重要的论证方法。本文从最小（自然）数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法（也称完整归纳法）进行粗略的探讨。

数学归纳法是一种重要的论证方法。我们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文从最小自然数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识，并得到一种加强的证明方法。相对于第一数学归纳法，第二数学归纳法的假设更强，理论上可以使用第一数学归纳法证明的，必然可以使用第二数学归纳法证明；反之则不一定成立，我们有一个有关整数的整除理论的典型证明：“所有大于1的整数都可以分解成若干个素数的乘积”来看出这一点。

1.最小自然数原理：

设T是N的一个非空子集，那么必有t0属于T，使得对任意t属于T，有t0<=t,即t0是T中最小自然数。

2.第二数学归纳法：

设有一个与自然数n有关的命题P0，P1，P2,…,Pn如果：

（1）当n=1，P1成立；

（2）对n>1,若对所有自然数m

命题对于一切自然数n来说都成立。

证明

证明：假设命题不是对一切自然数都成立

设C表示使命题不成立的自然数所组成的集合，C非空

由最小自然数原理可得，C中必然存在最小元素t0

由(1) P1成立，知t0>1

由（2）知，取n=t0有m

由C的定义知m属于C，与t0最小矛盾

得证

说明

在假如论证在n=k+1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有必要这样做。

第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。

参考资料

最新修订时间：2024-03-21 13:02