等价无穷小
高等数学专业名词
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
定义
定义：如果，那么就说与是等价无穷小，记作。
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即的情形。
举例：因为 ，所以当时，与是等价无穷小，即
例1：证明: 当时，。
证：因为
所以。
例2：证明: 当时，.
证：+1-1 的应用
性质
无穷小的等价关系具有下列性质:
（1）自反性：；
（2）对称性：若，则；
（3）传递性：若，，则。
证明：(1) 因为 ，所以;
(2) 因为，即 ，所以，即;
(3) 因为，，即
即。
定理
关于等价无穷小，有下面两个定理:
定理1：与是等价无穷小的充分必要条件为。
证：必要性. 设 ，则
因此，即。
充分性. 设，则
因此。
定理2：设，，且存在，则。
证：
注：定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替。因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，就可以使计算简化。
例3：求极限。
解：由于，
且当时，，，，故有
等价无穷小代换定理
定理3：极限式子中的无穷小乘积因子可以用等价无穷小代换。
（1）设，，且，则。
（2）设，，则。
注：等价无穷小代换一般只能在乘积因子之间进行，但在某些条件下，等价无穷小代换也可以在加减项之间进行。
命题1：设，，且（即与是同阶但非等价的无穷小），则。
证：因为，，所以
故。
此命题说明，两个同阶但非等价的无穷小之差的每一项都可以用与之等价的无穷小代换。
举例：当时，。
注：两个等价无穷小之差的各项不能进行上述等价无穷小代换。例如，不等价于。这是因为两个等价无穷小之差是一个更高阶的无穷小(甚至为零)，而两个同阶但非等价的无穷小之差仍是与这两个无穷小同阶的无穷小.
举例：错误示例：
举例：错误示例：
命题2：设，，且与同号（即）（称为同号无穷小），则。
此命题说明，两个同号无穷小之和的每一项都可以用与之等价的无穷小代换。
举例：当时，。
推广：变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。
定理4：当时,
（i）均是无穷小.
（ii）存在且不为零.
（iii）.
则有
定理2：设在点的某去心邻域内可导，并且，又满足条件：
（i）均是无穷小 .
（ii）当时，，。
（iii）存在.
（iv）具有连续导数.
则有
公式
注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
最新修订时间：2024-11-26 11:03
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