等角共轭
数学专业术语
几何学中,设点P是三角形ABC平面上一点,作直线PA、PB和PC分别关于角A 、B和C的平分线的反射,这三条反射线必然交于一点[1],称此点为P关于三角形ABC的等角共轭。 (这个定义只对点,不是对三角形ABC的边。)点P的等角共轭点经常记作P*,显然P*的等角共轭点即为P。
含义
内心I的等角共轭点是自身。垂心H的等角共轭点是外心O。重心的等角共轭点是类似重心K。在三线坐标中,如果X = x : y : z是不在三角形ABC边上的一点,那么它的等角共轭是1/x : 1/y : 1/z。因此,X的等角共轭有时也记作X −1。三角形内部的点集S在三线乘法
(p : q : r) * (u : v : w) = pu : qv : rw,
下构成一个交换群。 S中任何一点X的逆是X −1。
因为等角共轭是一个函数,从而我们可以讨论一个点集的等角共轭。譬如,直线的等角共轭是一条外接圆锥曲线;确切的,若直线交外接圆于0、1或2 点,其等角共轭分别为椭圆、抛物线或双曲线。外接圆的等角共轭是无穷远直线。一些有名的三次曲线(例如:Thompson三次曲线、Darboux三次曲线、Neuberg三次曲线)是自等角共轭的,即如果X位于这些三次曲线上,那么X −1也在其上。
定理
1.等角点的一个常用性质(Poncelet定理):
“设E、F是∠APB内的两点,满足∠APF=∠BPE。作E、F关于PA、PB的轴对称点S、T.求证:FS=ET.”
Poncelet定理等价表述为:
“∠APB内的一对等角点E、F(即满足∠APF=∠BPE),关于PA、PB两边的光路反射路径长度一定相等!”
2.“角内两点形成等角关系的另一充要条件是,它们在两边上的四个射影共圆! 所共圆圆心即为这组等角点的中点.”
圆锥曲线应用
由椭圆外一点P引椭圆的两条切线PE、PF,则椭圆的两焦点为∠EPF内的一对等角点.
1.等角共轭解决《圆锥曲线的几何性质》问题282
2.较复杂的等角共轭问题,暂时没想出来思路(《圆锥曲线的几何性质》问题196、43)
3 .四点共圆中的结论,找不到思路(《圆锥曲线的几何性质》问题289)
参考资料
最新修订时间:2022-04-26 10:13
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概述
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