算子半群是依赖于参数的算子族。算子半群理论是
泛函分析的一个分支，主要研究各种类型的算子半群和它们的生成元的特性，以及指数公式的各种表达形式。设X是
线性空间，Tt(t≥0(或t>0))是X上的
线性算子。 算子半群理论是泛函分析的重要分支之一，主要研究各种类型的算子半群和生成元的特征，以及指数公式的各种表达形式。它在微分方程、概率论(马氏过程)、系统理论、
逼近论和量子理论中是经常出现的。
算子半群是依赖于参数且对乘法运算封闭的算子族。设X是
线性空间，Tt(t≥0(或t>0))是X上的
线性算子。如果对任何t1，t2≥0(或>0)，有Tt1Tt2=Tt1+t2，则称{Tt|t≥0(或t>0)}为单参数算子半群，或简称算子半群。显然，算子半群即把参数t的加法半群(因限制t≥0或t>0故仅是加法半群)变成算子(按算子乘法)的半群.对于半群{Tt|t≥0}，通常总加上假设T0=I。在泛函分析中，通常要假设X是
巴拿赫空间或拓扑线性空间(重要的是局部凸拓扑线性空间)，并且把{Tt|t≥0(或t>0)}视定义在[0，+∞)(或(0，+∞))上算子值函数时，还要假设有某种连续性，具体可见C0类算子半群，C0类等度连续算子半群，解析算子半群等。上面谈的是线性算子半群，此外还有非线性算子半群。
算子半群理论是泛函分析的重要分支之一，主要研究各种类型的算子半群和生成元的特征，以及指数公式的各种表达形式。它在微分方程、概率论(马氏过程)、系统理论、
逼近论和量子理论中是经常出现的。
是这样一族线性算子{T(t)|t≥0}，它们都连续地映巴拿赫空间x于自身，满足：①T(0)=I（恒同算子）； ；③对一切x∈X，有T(t)x→x于x当t↓+0。这类半群可以表示为exp(-tA)的形式，其中A是闭的；有稠密的定义域D(A)，且满足条件：有常数M，使n=1,2,…。这个条件还是充分的。指数公式exp(-tA)有几种解释。其一，当x∈D(A)时，成立 。这个结论给出算子微分方程初始值问题的解。 ，有解x(t)=T(t)x0。其二， ，这里若记 则其为有界线性算子，于是可以定义 。其三， 。这类算子半群的理论主要是由C.E.希尔、吉田耕作、R.S.菲利普斯等人奠定的。
满足‖T(t)‖≤1，对一切t>0的强连续算子半群。成为压缩半群的生成元A的充要条件是，对一切λ>0。线性算子A称为是增殖的，是对一切x∈D(A)，对,式中〈,〉表示x的共轭空间与x 间的对偶。压缩半群的生成元有一个等价的刻画：A是闭的增殖算子，并有λ0>0，使得(λ0I+A)的值域是满的。压缩半群的应用极为广泛，许多具体算子半群都是压缩的。例如：布朗运动中迁移函数导出的算子半群、发展型方程的解导出的算子半群以及泊松核导出的半群等。
线性算子半群理论也被推广到了非线性算子。非线性压缩算子半群{T(t)│t≥0}是这样一族由巴拿赫空间x中的子集C到自身C 的非线性映射，除了满足强连续线性算子半群定义中的条件①～③(但以x∈C代替x∈x)而外，还假设满足条件④‖T(t)x-T(t)y‖≤‖x-y‖,对一切x,y∈C,和一切t≥0。为了描写非线性压缩半群的生成元，引进多值增殖算子的概念。称x×x上的一个子集A为一个多值算子,如果记Ax={y∈x|[x,y]∈A},D(A)={x∈x|Ax≠═},R(A)=UAx,(见
非线性算子)。一个多值算子A称为是增殖的，如果对一。当x是希尔伯特空间时，一个多值增殖算子就是一个单调算子。多值增殖算子有一个等价刻画。当λ>0,对一切[x1,yj]∈A,i=1,2。有下列克兰多尔－利格特定理：设A是巴拿赫空间x上的一个闭的多值增殖算子，并且存在λ>0，使一切t>0及一都存在，并且T(t)是一个非线性压缩半群。但是其逆命题一般是不成立的。事实上有例子表明：存在着一个没有生成元的压缩半群,即对每都不存在。然而当x是一个希尔伯特空间时，上述定理中的条件相当于A是极大单调的。这时其逆定理在下述意义下成立。设x是一个希尔伯特空间,那么在x 的极大单调算子A与闭凸子集C上的非线性压缩半群之间存在着一一对应如下:①对每个极大单调算子A，存上的唯一的非线性压缩半群T(t),使得A0x是Ax中取极小模的元素}是这半群的生成元;②对每个在闭凸子集C上定义的非线性压缩半群T(t),存在唯一的极大单调算子A,使得，并且A0是T(t)的生成元。非线性半群理论在非线性发展型方程和非线性各态历经理论的研究中有重要的应用。
泛函分析是是研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论的一门分析数学，是数学许多分支的内容和方法的统一处理，它概括了变分法、微分方程与积分方程、实变函数论、
函数逼近论、算子理论中的某些个别的论证，并给出了一般的论证方法，表现了数学方法的本质的内在联系。所谓算子，也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。所谓泛函数即指，给定任意两个集合X和Y，给定一个法则f，假如对每一元素x∈X，依f可唯一确定y∈Y和它对应，则称在X上定义了一个抽象函数或算子y=fx，其值域包含在Y内，若算子的值是实数，则称该算子为泛函数。泛函分析的特点是，它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这个概念和方法几何化了。泛函分析的主要内容包括拓扑线性空间及其算子理论、广义函数论、非线性泛函分析等，它在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学中都有广泛的应用。它虽形成于本世纪30年代，但已发展成一门理论完备、内容丰富的数学学科了。