算子群(operator group)亦称带算群或称Ω群。比群更广且有重要运用价值的群类。群G到G的一个映射α：g→gα称为G的一个算子，若对于任意的x，y∈G，均有(xy)α=xy。G的一个算子就是G的一个自同态。G的某些算子做成的集合，称为G的一个算子集。算子集常用Ω记。带有算子集的群称为带算群，或算子群，或Ω群。

算子群(operator group)亦称带算群或称Ω群。比群更广且有重要运用价值的群类。群G到G的一个映射α：g→gα称为G的一个算子，若对于任意的x，y∈G，均有(xy)α=xy。G的一个算子就是G的一个自同态。G的某些算子做成的集合，称为G的一个算子集。算子集常用Ω记。带有算子集的群称为带算群，或算子群，或Ω群。设H是群G的子群，Ω是G的一个算子集，若对任意的α∈Ω，h∈H，均有hα∈H，则称H是G的Ω容许子群(Ω不变子群)。当Ω是G的全体内自同构所成之集时，G的Ω容许子群就是G的正规子群；当Ω是G的全体自同构所成之集时，G的Ω容许子群就是G的特征子群。算子群的理论与一般群的理论是平行的，群的一般理论都可以推广到算子群上去，且取定适当的算子集，有时还可以提高对群本身的研究效果。而一般的群可以看成算子集为空集的群。

一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

研究具有一种结合法的特殊代数系——群的科学。代数学的分支学科。如果在元素集合G中定义了一种叫乘法的运算，并且这个运 算满足下面四个条件： (1) 对任意f，g∈G，必有 fg∈G； (2) 对任意f，g，h∈G，都有 (fg) h=f (gh)； (3) G中有唯一的e，使得对G中任意元素f 都有ef=fe=f； (4) 对G中任意元素f，在G中有 唯一的f-1使得f-1f=ff-1=e。那么，称G为群。各种群的结构、各种群运算的性质及群的应用，是群论研究的对象。

群论研究的内容十分丰富。概括起来主要包括有 限群论、有限生成群、一般群论、群表示论等。本世 纪20年代量子力学诞生之前，群论只是一个纯粹的 数学分支。而后，在物理学中，群论的方法导致了有关原子和分子结构的重大发展。现在，群论已经是量 子物理学和量子化学经常用到的工具。因此，群论是蓬勃发展的、具有广阔应用前景的学科。

群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

亦称不变子群。一类重要的子群。在共轭作用下不变的子群。设H是群G的一个子群，若对任意的x∈G有Hx=xH，则称H是G的一个正规子群，记为HG。子群H是G的正规子群的充分必要条件是对于任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H。{e}和G是G的两个正规子群，称为G的平凡正规子群。

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：

并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基. 则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

指从群胚，幺半群，群，环到其自身中的同态，向量空间在自身中的线性映射，等等。

设G为关于加法的交换群.赋以加法及法则(f，g)↦g°f的G的全体自同态之集是一个环。

设E为交换体K上的向量空间。赋以法则(f， g)↦g°f， E的全体自同态之向量空间是酉代数，记为ℒ(E)，或End(E)。元素g°f仍记为gf。A-模的情形是类似的。