素域是一种重要的域，指不含任何真子域的域。任何一个域F都有单位元e，考虑加群{0，±e，±2e，…，±me，…}，它有两种可能：

扩域(或扩张)：如果域F是域E的一个子域，则称域E为子域F的一个扩域(或扩张)，并用符号 ，表示E是F的扩域(或扩张)。

例1 复数域是实数域的扩域，而复数域和实数域又都是有理数域的扩域。

我们知道，任何数域都包含有理数域，即有理数域是最小的数域，它不再含有任何真子域。

素域(或最小域)：如果一个域F不含真子域，则称F是素域(或最小域)。

例2 有理数域是素域，剩余类环 是素域。

任何域E都含素域。

证明 设e是域E的单位元，且令 ，显然Z’是域E的子环，作映射 ，则 是整数环Z到Z’的一个同态满射。

(1)当char E=∞时，则 是同构映射，从而 。

但同构的环的商域也同构，即Z的商域 Z’的商域，又Z的商域是有理数域Q，E包含Z'，因而E包含Z'的商域，再由有理数域Q是素域，故Z’的商域也是素域，即域E包含素域。

(2)当char E=p时，则易知， ，故 ．由于 是素域，故Z’是素域，从而域E包含素域。

综上所证，定理得证。

这个定理告诉我们，一个域E，当特征是 时，包含一个与有理数域同构的素域，当特征是素数p时，E包含一个与 同构的素域，即有下列推论：

任意域包含且只包含一个素域，任意域都是一个素域的扩张。

设E是一个域，则当char E=∞时．E包含一个与Q同构的素域；当char E=p时，E包含一个与 同构的素域。

这个定理同时也说明，任意域都是一个素域的扩张，因此，可以从素域出发来研究扩域，而且如果这样的扩域研究清楚了，也就是弄清楚了所有的域。但实践证明，从素域出发来研究扩域并没有什么特别的优越性，因此，我们不是由素域出发而得到扩域，而是对任意域F出发通过添加来研究其扩域。

若域△不含真子域，则称△是一个素域。

例如：有理数域Q和以p(素数)为模的剩余类域 都是素域。

设△是一个素域，若△特征是 ，则△与有理数域同构；若△的特征是素数p，则△与以p为模的剩余类域 同构。

1. 证明Q和(P为素数)都是素域。

证：(1)设F是Q的子域，则1∈F，若n是任一整数，于是有，从而对任有理数芋(p，q为整数)·有，故，即：，从而Q=F。

(2)设F是的子域，则[1]∈F，任意元素，有

于是，从而。

2. 设F是特征为素数p的一个域，证明：

作成E的一个子域，且为E中的素域。

证：令，定义映射

易证，是同构映射，从而△是E的子域，再由是素域可知△也是素域。