质数（英文名：Primenumber）又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

大于1的整数p，如果除了1和p外，没有其他的正约数，则称p为质数，也叫素数或不可约数，如果大于1的整数a不是质数，则称a为合数，也叫复合数，在质数定义里应该注意两个问题：首先，数、合数研究的领域是大于1的整数，所以1既不是质数也不是合数，其次，在质数范畴里2是唯一的一个偶质数，其余质数都是奇数。

质数的研究最早可追溯到古埃及。古希腊的毕达哥拉斯学派，欧几里得，和埃拉托斯特尼等人对质数有不少研究。在公元前 1550 年左右的古埃及的莱因德数学纸草书中就有对素数与对合数完全不同类型的记录。古希腊的毕达哥拉斯学派（英语：Pythagoras）对质数有不少研究。他们把“2”排除在质数之外，因为“2”不是“真正的数”。公元前300年左右的欧几里得（希腊语：Ευκλειδης）所著的《几何原本》包含与素数有关的重要定理，如有无限多个素数，以及算术基本定理。埃拉托斯特尼（古希腊语：Eratosthenes Sieve）提出的埃拉托斯特尼筛法是用来计算素数的一个简单方法。近现代数学中，皮埃尔·德·费马，法国博学家马林·梅森，德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫和瑞士数学家欧拉等人得到了一些关于质数的重要成果。1640年，皮埃尔·德·费马（法语：Pierre de Fermat）叙述了费马小定理，费马还研究了费马数的素数。法国博学家马林·梅森（法语：Marin Mersenne）发现了一类素数，即梅森素数。 德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（德语：Goldbach C）在 1742 年写给欧拉的一封信中提出了哥德巴赫的猜想，即每个偶数都是两个素数之和。瑞士数学家欧拉（德语：Leonhard Euler）有许多和质数有关的成果。他证明了素数倒数和的无穷级数会发散。法国数学家阿德里安-马里·勒让德与德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯各自独立证明了素数定理。法国数学家雅克·所罗门·阿达马和比利时数学家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑完成了素数定理的初等证明。不过质数依然有许多悬而未决的理论，比如著名的哥德巴赫猜想等。

1、设a为大于1的正整数，若p是a的大于1的最小正约数则p必为质数。

2、如果 a 是合数，p 是 a 的最小约数，那么 p≤√a。

3、算术基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

4、质数的个数是无限的。

5、质数的分布规律：若n为正整数，在n2到(n+1)2 之间至少有一个质数。

6、若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。

7、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。

1.密码学：质数在密码学中起着关键作用，特别是在公钥加密算法如RSA中。这些算法的安全性基于大质数的分解难度。所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

2.计算机科学：在计算机科学中，质数被用于生成随机数，特别是在安全随机数生成器中。此外，质数还被用于设计和分析算法，如素数筛法。

3.生物学：在生物学中，质数被用于理解和描述生物系统，如基因组结构、蛋白质结构等。在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。

4.物理学：在物理学中，质数被用于理解和描述自然现象，如原子结构、量子力学等。

5.经济学：在经济学中，质数被用于理解和描述市场行为，如价格形成机制、市场竞争等。

6.统计学：在统计学中，质数被用于设计和分析实验，特别是在随机化实验设计中。

7.工程学：在工程学中，质数被用于设计和分析系统，如通信系统、控制系统等。

任一大于2的整数都可写成三个质数之和。

在174年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

关于此定理的证明历来有不少数学家曾尝试去证，但效果不明显．目前关于此定理证明的最高成就属我国的数学家陈景润，他证明了任何一个大偶数都可以表示成一个奇质数与两个奇质数的乘积的和的形式( 即 1 + 2)。

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。

素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ（s）非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。

在对黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re（s）=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res（s） = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孪生质数。

英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。

2013年5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：当2p-1 中的p是质数时，2p-1是质数。他验算出：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2p-1都是素数，但p=11时，所得2,047=23×89却不是素数。

梅森去世250年后，美国数学家科尔证明，267-1=193,707,721×761,838,257,287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。

由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素质分布的猜想，这一重要猜想被国际上称为“周氏猜测”。