紧基数(compact cardinal number)亦称强紧基数，是一种大基数。一个不可数正则基数κ是紧的，如果对任何集合S，S上的每一个κ完全的滤子都扩充成S上的κ完全的超滤，每个紧基数κ都是可测的。但反之不然，即不是每个可测基数必须是紧的，故紧基数强于可测基数。

强紧基数是一类很“大”的大基数，若对于任何无穷基数λ，语言Lκκ都是(λ，κ)紧的，且，则称基数κ是强紧基数，语言Lωω是(λ，ω)紧的，这儿λ是任意无穷基数，因而，强紧基数也是对无穷基数ω的某些性质进行推广而得到的，开斯勒(H.J.Keisler)和波兰学者塔尔斯基(A.Tarski)于1964年引入强紧基数的概念。

强紧基数必是可测基数，因而也必是弱紧基数，福平卡-赫巴契克于1966年证明了：若存在强紧基数，则对任何集合X，V≠L[X]，这里V是全集，L[X]是相对于X的可构造集，或说是从X出发的可构造集，以色列学者索洛韦(R.M.Solovay)于1974年用力迫法证明了：若κ是强紧基数，对于每个>κ的奇异强极限基数λ，有2λ=λ+，亦即对于一些很特殊的、很大的基数，证明了广义连续统假设是成立的。

设κ，λ为基数，，令

设U是Pκ(λ)上的滤子，若对每一个 ，则称U是精细的(Fine)。

定义1 设κ为正则不可数基数， 为任意基数，称κ为λ-强紧的充要条件为在Pκλ上存在非主的、精细的、κ-完全的超滤(或Pκλ上存在精细的测度)。

κ称为强紧的充要条件为对所有 ，κ是λ-强紧的。

定义2 设κ为正则不可数基数， 为任意基数， (或 )为无穷语言，若对任意语句集Φ，|Φ|=λ，当 时，Φ’都有模型，则Φ有模型，那么称 有(κ，λ)强紧性定理，称 是强紧的，若对所有 ， 有(κ，λ)-强紧性定理。

下列定理说明强紧来源于无穷语言的(κ，λ)一强紧性定理。

下面定理的证明请参考相应书籍。

定理3 设κ是正则基数，则下列命题等价：

[1]对任意S，S上每一个κ-完全超子可扩充成S上的超滤；

[2]对任何 上存在精细的测度；

[3]无穷语言 满足强紧性定理。

定理4 若κ≤λ，则下列命题等价：

[1]κ是λ-强紧的．

[2]存在初等嵌入 ，以κ为临界点，使得当 时，有 ，满足 ，

[3]若F是集合S上的任一κ-完全的滤子，它由基数≤λ的集所生成，则F可扩充的S上的κ-完全超滤。

推论5 强紧基数是可测基数。

定理6 (沃列克-赫贝西(Vopenka-Hrbacek)若存在强紧基数，则对任何 。

定理7 若λ为正则基数，，κ是λ-强紧基数，则 。

定理8 若存在强紧基数，则在该基数以上的奇异基数，其奇异基数假定都成立(即若κ为强紧基数，λ>κ为奇异基数，则当 时有 )。

推论9 若κ是强紧基数，为奇异强极限基数，则2λ=λ+。

下面给出可测基数与强紧基数之间关系的一个性质．

定理10(梅劳斯(Menas))若κ是可测基数，并且它是强紧基数的极限，则κ是强紧基数。

定义11 设κ为正则基数，，函数t，使得，则称t为生长在Pκλ的元素P上的二元函数。

设M是满足下列性质的函数族：

[1]若，则t生长在Pκλ元素上，

[2]若，则，

[3](t生长在P上)，

则称M为二元(κ，λ)-网(Mess)(简称网)。

如果存在函数，使得对每一个↑，则称f为M的解(Solution)，这时M也称为可解的。

定理12 设κ是不可及基数，，，则κ是λ-强紧的充要条件为每一个二元(κ，λ)-网可解。