线性子空间（又称向量子空间，简称子空间）是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间。

定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。

注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：

（1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；

（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。

2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。

3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。

例1 设域是R，向量空间V是欧几里得空间。 取W为最后的分量是 0 的V中所有向量的集合。则W是V的子空间。