线性拓扑空间，又称
拓扑向量空间或
拓扑线性空间。假设X是实（或复）的线性空间，又设x是X上的一个拓扑，如果拓扑空间满足下列条件，则称（X，x）为线性拓扑空间：（1）（X，x）满足T2-型
公理；（2）X中的线性运算是连续的。
2、为使线性
泛函f在E上连续，必须且只须在E中存在这样的零邻域，在该邻域上泛函f有界。
连续性是拓扑的核心概念，这点也让我们联想到向量空间。由定义，向量空间是定义了两种函数的集合：矢量和以及标量乘积。为了一定的目的，向最空间上的拓扑需要这些函数是连续的。
因为在线性空间上唯一值得考虑的拓扑就是线性的，线性拓扑向量空间通常简写为拓扑向量空间(topological vector space)，其简写为TVS。在这个定义的引用中，标量集合R给定它的标准拓扑，以及乘积LL和R×L
分别是各自的乘积拓扑。需要注意的是，表示标量乘积的“函数”并没有相应的符号，因为在我们把矢量和写作x+y的时候，并没有在φ和x的乘积φx中间有任何符号。此外，要得到一个线性拓扑，这样的“看不见的”运算必须是连续的。