线性流形也称为线性仿射空间，或线性簇。凡是线性空间都是过原点的。设M是线性空间X中的一个子空间，如果将M作某个平移，即有x0∈X,使得V=x0+M，这就是M的一个平移。它表示，对于任意ν∈V,都有ν=x0十m,其中m∈M。设X是一个线性空间，M是X的一个子空间，M在X中的平移之后所构成的向量集合，称为X中的一个线性流形。

所谓线性空间V的线性流形，即为

其中 是 的子空间， 是V的固定向量，且 的维数称为线性流形P的维数，一维线性流形称为直线，二维线性流形称为平面，更高维的线性流形称为超平面。

定理1 设 是 的任意 个向量，且 ，则形如

的所有向量组成一个维数等于向量组 的秩的线性流形P。

定理2 是V的子空间，而 ，则 相等的充要条件是。

由线性流形定义的关系式 或 可看出，线性流形P是从线性子空间平行移动一个向量 所得，而定理2则说明，用平行移动得到所给流形P的那个线性空间 是唯一确定的。

定理3 中任意两条直线包含在某个三维线性流形中。

定理4 空间 的两条直线 和 位于一个平面内的充要条件是 线性相关。

推论1 两条直线 和 穿过一点但不重合的充要条件是 线性无关，而 可用 线性表出。

定理5 空间 的两个维数分别为k和h的线性流形P和Q包含在一个维数 的线性流形中。

定理6 如果空间 的两个维数分别为k和h的线性流形P和Q有一个公共向量 ，则 是一个维数 的线性流形。