简单的说,网络科学（Network Science）应该是专门研究复杂网络系统的定性和定量规律的一门崭新的交叉科学,研究涉及到复杂网络的各种拓扑结构及其性质,与动力学特性(或功能)之间相互关系,包括时空斑图的涌现、动力学同步及其产生机制,网络上各种动力学行为和信息的传播、预测(搜索)与控制,以及工程实际所需的网络设计原理及其应用研究,其交叉研究内容十分广泛而丰富。

图论和拓扑学

网络科学首先得益于图论和拓扑学等应用数学的发展。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中,他所考虑的原始问题具有很强的实际背景。在数学上,关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。而在欧拉身后，一些数学大师如柯西、汉密尔顿、凯利、基尔霍夫、波利亚等都对图论作出了贡献，使这门科学得到了快速的发展。

1、哥尼斯堡七桥问题

哥尼斯堡是东普鲁士的首都,今俄罗斯加里宁格勒市,普莱格尔河横贯其中。18世纪在这条河上建有七座桥,将河中间的两个岛和河岸连结起来。人们闲暇时经常在这上边散步,有人提出:能不能每座桥都只走一遍,最后又回到原来的位置。这个看起来很简单却很有趣的问题吸引了大家,很多人在尝试各种各样的走法,然而无数次的尝试都没有成功。谁也没有做到,看来要得到一个明确、理想的答案决非那么容易。

1736年,有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉,欧拉经过一番思考,很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉首先把这个问题简化,他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点,而把七座桥看作这四个点之间的连线.欧拉图的研究开创了“图论”这门新的数学分支[7],因此,这是第一代科学家对网络的开创性贡献,于是欧拉被誉为图论之父。问题是要从这四块陆地中任何一块开始,通过每一座桥正好一次,再回到起点。即这个问题就简化成,能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析,欧拉得出结论———不可能每座桥都走一遍,最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。欧拉在1736年解决了这个问题,他用抽象分析法将这个问题化为第一个图论问题:即把每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替,从而相当于得到一个图。欧拉证明了这个问题没有解,并且推广了这个问题,给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。这项工作使欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。因此,关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等成为拓扑学发展史上的著名问题。

2、四色问题（四色定理）

在图论的历史中,还有一个最著名的问题———四色猜想（四色定理）。提出四色猜想的人来自英国,有一段有趣的历史。1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”每个国家必须由一个单连通域构成,而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界,而不仅仅只有一个公共点。1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题,它是图论中的一个著名的问题,并且是世界近代三大数学难题之一。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878~1880年两年间,著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定了。于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。所以它对图的着色理论、平面图理论、代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用。进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明。当然,不少数学家还在探索一种更简捷明快的书面证明方法。

随机图理论

两个匈牙利著名的数学家Paul Edo''s(保罗·爱尔德)和Alfred Renyi（阿尔弗雷德·莱利）,他们在20世纪50年代末和60年代合作发表了8篇论文，这8篇论文在历史上首次探讨了我们所处的相互关联的宇宙的基本问题：网络是如何形成的？建立了著名的随机图理论,奠定了随机网络理论的基础。这一理论最重要的假设为：网络节点之间的链接是随机选择建立连接的。他们认为网络图和它所代表的世界从根本上说是随机的。随机网络模型的前提是深刻的平等主义：我们完全随机的安排链接，因此所有的节点都有等同的机会获得链接。

他们用相对简单的随机图来描述网络,简称ER随机图理论,他们的最重要发现是ER随机图中许多重要性质都是随着网络规模的增大突然涌现的。他们创立的ER随机图理论为图类的阈函数和巨大分支涌现的相变等提供了研究网络,的一种重要的数学理论。

确实,用图论的语言和符号可以精确简洁地加以描述各种网络,图论不仅为数学家和物理学家提供了描述网络的共同语言和研究平台,而且至今图论的许多研究成果、结论和方法技巧仍然能够自然地应用到现在复杂网络的研究中去,成为网络科学研究的有力方法和工具之一。在长达40年的ER随机图对于图论理论的影响大而广泛。

小世界理论和六度分离

1998年,科学家迎来了复杂网络的又一次突破性进展,首先冲破了ER理论的框框的人是,美国康奈尔(Cornell )大学理论和应用力学系的博士生Watts及其导师Strogatz在《Nature》杂志上发表了题为《“小世界”网络的群体动力行为》的论文,提出了小世界网络模型。这实际上是20世纪60年代美国哈佛大学的心理学家Milgram曾经作过的著名的小世界实验的一种拓广,Milgram提出的“六度分离”(six degrees of separation )社会调查后的推断,它原意是指在美国大多数人中,任意两个人平均最多通过6个人就能够彼此认识。不管是谁如果想认识一个素不相识的人,只要通过六个他的朋友的朋友转达之后,一般就能够联系得上。人们常有这么体验,当参加国内外会议或访问或旅游时,经常与遇到一些新朋友交谈时,你很快就发现:他认识你的朋友,你认识他的朋友的朋友,于是大家不约而同地脱口而出:这个世界真小啊!这就是“小世界效应(现象)”,这里包含了“六度分离概念”的基本思想,那么你现在想与世界上任何一个人(例如史蒂芬·霍金等)联系交朋友吗?咋看似乎不太可能。如果你真想联络到他,应该怎么办?你可这样做:找一个最有可能和他有联系的亲友,把问候转达给他,然后他也照样去找下一位亲友。这样你一共需要多少个亲友作为“中转站”就能找到对方呢?这个问题的答案或许有点让人吃惊:不论你想找地球上哪人(壮汉或名人),大约只需要6步,最后一步就是“中转”的最终目标。2003年哥伦比亚大学社会学系的的瓦茨(DuncanWatts)领导的研究小组在《科学》杂志上,发表实验报告,他们利用互联网在全世界范围内初步检验了上述惊人的假说,有六万多志愿者参与利用电子邮件通信试验,例如从分布世界各地某同学的同学进行通信试验表明,确实不到6步就实现了,这是利用互联网初步验证了小世界现象。但是这个试验还不够多,他们准备做上亿的互联网进一步试验。可见,Watts和Strogatz的研究结果进一步揭示了复杂网络的小世界效应。

无标度网络模型（Scale-free Network）

1999年美国圣母(Notre Dame )大学物理系的Barabási教授及其博士生Albert在《Science》杂志上发表了题为《随机网络中标度的涌现》一文[3],提出了一个无标度网络模型,发现了复杂网络的无标度性质,并和M. Newmann,D. J. Watts共同编辑了“网络的结构与动力学”(The Structure and Dynamics,普林斯顿大学出版社,普林斯顿, 2003年)专著,该书在国际上产生了广泛的影响,引起了全世界的高度重视。正是他在网络科学方面的杰出贡献,因此于2006年获得了美国von Neumann (冯纽曼)计算金奖。

标志着复杂网络研究进入了网络科学的新时代,由此诞生了一门崭新的科学:网络科学。网络科学的二大发现,以及随后许多真实网络的实证研究表明,真实世界网络既不是规则网络,也不是随机网络,而是兼具小世界和无标度特性,具有与规则网络和随机图完全不同的统计特性。这在全世界学术界激起了千重浪,复杂网络文章铺天盖地,网络科学的综述和专著不断涌现[11~22],从物理学到生物学,从社会科学到技术网络,从工程技术到经济管理等众多领域,受到了人们的空前的广泛关注和重视,正在突飞猛进。

度

对于一个节点，若看作源节点，

出度：由源节点指向其他节点的边数；

入度：其他节点指向源节点的边数；

度：出度与入度的和。

密度：

网络密度是网络中已有的边数与总的可能存在的边数的比率，（通俗说就是现有的边数与所有的点都连接的边数的比值）。对于一个有N个节点的无向图网络，理论上边数最大为，则密度，其中是图中存在的边，对于一个有向图网络，密度，其中是单向的边。

平均度：

网络图的平均度和密度有着密切的关系，其平均度，在ER随机图模型中,我们可以计算其中是连接两个节点的概率。

平均路径长度(Average path length)

平均路径长度：首先计算通过寻找所有成对的节点之间的最短路径长度，然后把它们的长度求和，然后除以总对数，就是平均路径长度。这告诉我们平均路径长度是一个节点到网络中的另一个节点所要走的平均长度。

网络直径(Diameter of a network)

作为测量网络图的另一个度量标准，我们可以定义网络直径为网络中最短路径的最大值，换句话说，首先计算每个节点到其他节点的最短路径，则网络直径就是最短路径的最大值。直径代表着线性网络的大小。

聚集系数(Clustering coefficient)

聚类系数是测量“all-my-friends-know-each-other”。通常被描述为我的朋友的朋友还是我的朋友。更准确的是，一个节点的聚类系数是这个节点存在的连接点数与最大可能的连接点数的比值，一个网络整体的聚类系数是各个节点聚类系数的取平均值，同时具有小的平均路径和高的群聚系数，就形成了小世界效应。

则节点的聚类是，其中是邻居节点的数量，是邻居节点的邻居的连接数，则邻居节点的最大连接数为。

连通性

连通性扮演者重要的作用在分析和解释网络的连通性时，图根据连通性被归类在四个不同的类别:

安全和军事应用

网络拓扑结构的稳健性与脆弱性问题。例如建立能够应对核打击的军事指挥网络。网络结构对军事网络的容错性影响，军事网络的抗干扰、多环境、多任务、异构性、保密性研究均涉及网络科学。如怎么确保复杂网络可靠运转以有效应对网络灾变?如何应对未来虚拟攻击带来的严重后果？我们参考。2009年Stuxnet病毒攻击伊朗核设施的事件、2011年“CSDN泄密门”事件就会看到这类研究的重要性。

生物和疾病控制

如何控制计算机病毒和各种传染病传播(包括:艾滋病、非典和禽流感等)以应对给人类造成巨大的威胁?网络科学对于研究传染病的传播方式有着重要的作用。不同的网络模型对于我们的应对方式有着不同的指导原则。例如在随机网络中，传统的疾病传播理论认为，每种病毒都有一个传播阈值，超过这个阈值，疾病会传播。而在无标度模型中，则这一阈值消逝，疾病的传播与中心节点的携带病毒的概论有关。

物联网研究等其它

物联网在未来将会成为一个全球性的动态网络。其覆盖面将无限大，功能繁多，网络异构性强、覆盖面广、信息处理能力强，跨越虚拟和现实空间，因为会成为一个复杂网络的研究样本。对于其发展，一方面需要借助网络科学的研究成果加以引导和控制，另一方面又可以作为网络科学的研究样本促进这一学科的发展。