设E与F为两个群胚，两个幺半群，两个群，两个环，两个向量空间，两个代数或两个酉代数。称从E到F中的映射f是同构，如果f有逆映射，并且f与f-1是两个同态。

两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。

建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射，并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。

同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题，从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。

设G与G’是两个群，如果有 一个由G到G’上的|-|映射σ，使经(ab)=σ(a)σ(b)对所有的a，b∈G都成立，么就说G同构于G’，记作G≅G’。适合以上条件的映射叫做同构映射(或简称同构)。群G到自身的同构叫做自同构。

设E为群胚，幺半群，群，环，向量空间，代数或酉代数。从E到其自身上的同构称为E的自同构。

赋以合成法则(f，g)↦g°f后，E的自同构集是一个群，自然地称为E的自同构群，记为Aut(E).例如，设E为交换体K上的向量空间. E的同位相似是自同构，当且仅当它的比不为零. ——现假定E为有限维的。为使E的自同态是自同构，必须且只须它是单射，或是双射。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

一种特殊的群。指群自身的映射所构成的群。群G的所有自同构在映射的合成运算下构成的一个群，称为群G的自同构群，常记为Aut(G)。

重要的几何变换群。是几何学分类的依据。设S是给定的空间，U是S上的一个图形，若S到自身的一个变换g把U变到U自身，则称g是关于U的自同构变换，简称关于U的自同构。S上关于U的自同构变换的全体构成一个变换群，称它为关于U的自同构群。在变换中保持不变的这个图形U称为绝对形。例如，在射影平面上取一条直线作无穷远直线，则在射影平面上保持无穷远直线不变的自同构射影变换构成一个变换群，它是关于无穷远直线的自同构群，同时它也是二维射影变换群的子群，即仿射变换群。

亦称节点群。图论中一类重要的群。它是图G的所有自同构形成的群。自同构群为平凡群的图称为幺图。柯尼希(Ko¨nig，D.)证明：任何一个有限抽象群同构于某个图的自同构群。图G的所有自同态形成一个半群，称为图G的自同态半群。任何一个有单位元的有限半群同构于某个图的自同态半群。作用在图G的边集E上的自同构群称为G的边群，又称线群。由各种图的运算得来的复合图的群用构成它的各个图的群的复合表示出来，称这种表示为复合图的群。以下为常用的结果：

1.补图的群：Γ(G-)=Γ(G).

2.同构不交并图的群：Γ(nG)=Sn[Γ(G)].

3.不同构不交并图的群：

Γ(G1∪G2)=Γ(G1)+Γ(G2).

4.不交并图的群：

Γ(G1+G2)=Γ(G1)+Γ(G2)

的充分必要条件为G-1没有连通片同构于G-2的连通片。