自然同态，英文名是natural homomorphism of a group，亦称标准同态或典范同态。群到其商群上的一种特殊同态。

自然同态(natural homomorphism of a group)亦称标准同态或典范同态。群到其商群上的一种特殊同态。若N是群G的一个正规子群，则存在G到商群G/N上的一个映射f：g↦Ng.这个映射是G到G/N的满同态，称为自然同态，其中：

Imf=G/N，　ker f=N.

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态。这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

商群亦称因子群，又称模H的剩余类群。由正规子群的陪集组成的一种群。设H是群G的一个正规子群，G关于H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法：(xH)(yH)=(xy)H成为一个群，称为G关于H的商群。由于H是正规子群，xH=Hx，所以G/H也是H的右陪集所成的集合，因此，无论用左陪集还是右陪集来定义商群，结果是一致的。当G是加法群时，G/H也常写成G-H，称为差群。

设G为群，R为与G的法则相容的G中之等价关系。 赋以商法则，则商集G/R是群，称在G对R的商群。G的中性元素的等价类是G的正规子群。反之，对G的任一正规子群G′，由满足：

的偶(x，y)定义的关系R是与G的法则相容的等价关系。商群G/R叫做G对G′的商群，记为G/G′。

亦称不变子群。一类重要的子群。在共轭作用下不变的子群。设H是群G的一个子群，若对任意的x∈G有Hx=xH，则称H是G的一个正规子群，记为HG。子群H是G的正规子群的充分必要条件是对于任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的两个正规子群，称为G的平凡正规子群。