自然推理系统(axiomatic system of natural deduction)一种谓词演算公理系统。所谓自然推理系统，是指不含任何公理、只含规则的推理系统。除了重复规则Rep外，每个连接词符号一般都有I规则(引人连接词符号)和E规则(消去连接词符号)；对于命题常元符号，T有I规则，⊥有E规则。

演绎逻辑的核心问题:一是判定问题，即如何判定推理有效；二是推导问题，即如何进行有效推理。演绎逻辑系统要同时解决这两个问题，既要为判定推理是否逻辑有效提供检验方法或程序，又要为如何逻辑有效地推理提供推理规则。从给定的前提出发，运用推理的有效式即根据推理规则所进行的推理，称为自然推理(亦称为自然演绎)。自然推理不预设公理，只是根据推理规则，从给定的前提出发得出结论。自然推理是一个命题形式序列，每项或者是给定的前提，或者是从前面的命题形式运用推理的有效式即根据推理规则所得到的。现代逻辑证明，在命题逻辑中，只要运用少数几种基本的有效式或基本的推理规则，就可以推出一切能够推出的结论。因此，只要掌握少数几种基本的有效式，就可以以这些基本的有效式作为基本的推理规则，构成自然推理系统，从而解决推理有效性的判定问题和推导问题。

自然推理系统主要由一组推理规则(这组规则相当于一组推理模式)构成。这组规则构成的系统应当具有可靠性和完全性。自然推理系统中的推理规则是自然推理规则，是指导有效推理的规则，根据这些规则就可以从给定的前提进行有效的推导。运用自然推理系统判定某个推理是否有效，只需考察从给定的前提出发，仅仅根据系统内的推理规则能否推出给定的结论。换句话说，一个推理是有效的，当且仅当从给定的前提出发得到了给定的结论，而且推理的每一步都是按系统内的推理规则进行的。建立自然推理系统，其核心问题在于给出组推理规则。建构推理规则的考虑是很多的。这里只提出两个最基本的建构准则，它们管辖一切推理规则:一是可靠性准则，即这组推理规则必须使我们只能推出那些可从前提合乎逻辑地得出的结论。即用推理规则进行或产生的推理必须都是逻辑有效的，推理规则不得放过或产生逻辑无效的推理。二是完全性准则，即这组推理规则必须使我们能推出所有可以从前提合乎逻辑地得出的结论，即所有逻辑有效的推理都能由该组推理规则产生或构造(推演)出来。应当指出的是，这里构造的自然推理系统在相应的语义解释下既是可靠的又是完全的。可以证明:任何一条逻辑公理都可以用一条或一组推理规则代替，反之亦然。这表明逻辑公理和推理规则在刻画逻辑联结词的逻辑性质方面是等价的，自然推理系统与公理系统具有同等的判定能力和演绎推理能力。

自然推理系统的基本规则如下:

前提引人规则(P规则):在推理的任何一步都可以引人给定的前提。

重言蕴涵规则(T规则):如果在推理中有一些在先的命题，使得它们的合取合乎逻辑地得出 ,那么，我们就可以在推理中引人命题β。

间接推理规则(R.A.A规则):如果从一组前提和命题β的否定导出矛盾，那么β可从这组前提合乎逻辑地推出。

在上述PN系统中，把R.A.A规则作为基本规则，而把条件证明规则(C.P规则)作为导出规则。即如果能从一组前提和α推出β,就可以从这组前提推出α→β。

P规则允许我们在需要的时候随时引进给定的前提。当然，如果在推理中用到某个前提，但没有明确承认它是前提，则犯了严重的逻辑错误。T规则允许我们 一步步地连续使用推理有效式。根据推理有效式进行推理，就是合乎逻辑地得出结论，其前提逻辑蕴涵结论，结论是前提的逻辑后承。每 一个推理有效式都存在一个相应的逻辑推理规则，它不过是T规则的特例。T规则是对直接推理的逻辑推演模式的概括。R.A.A规则是利用矛盾的推理规则(即归谬法规则reductioadabsurdum)。运用R.A.A规则就是把它的结论的否定假定为一个补充的前提，然后从扩充的前提导出矛盾。如果加入这一假定导出了矛盾，那么该假定是不成立的。R.A.A规则是对间接推理的推演模式的逻辑概括。

还有两个重要的规则，它们是代人规则与置换规则。在推理的任何一步，重言式中的任何命题变项都可以用其他命题形式代人，代人须处处进行，代人后得到的仍为重言式，这是代人规则。在推理的任何一步，命题形式中的任何部分都可以用与之等值的命题形式置换，置换不必处处进行，置换后得到的命题形式与原式等值，这是置换规则。它们是重言蕴涵规则的特例，因而是导出规则。在推导中不必特别指出，注明T规则即可。

例1 某保密机关发生了失密案件。侦查机关掌握了如下事实:

①失密的人或是甲或是乙。

②如果甲失密，那么失密时间不会在当天零点之前。

③零点时保密室灯灭了，但甲此时未回家。

④若乙的证词真实，则失密时间在当天零点之前。

⑤只有零点时保密室灯光未灭，乙的证词才不真实。

侦查机关根据上述情况很快查到了失密者。问:谁是失密者?

用符号表示简单命题如下:

A:甲失密。

B:乙失密。

C:失密时间在零点之前。

D:零点时保密室灯灭了。

E:甲零点时未回家。

F:乙的证词真实。

前提为: 。

从这些前提出发，可进行下述推理:

①A∨B P

②A→ C P

③D∧E P

④F→C P

⑤ D→ F P

⑥D→F 5T

⑦D→C 4,6T

⑧D 3T

⑨C 7,8T

⑩¬A 2,9T

⑪B 1,10T

最后一行表明:从前提推出的结论是B,即乙是失密者。

例2某办公室里发生一起凶杀案。公安机关掌握了以下情况:

①如果E在现场，那么A和C不可能都不在现场;

②如果B不在现场，那么A也不可能在现场;

③或者C不在现场，或者B在现场;

④除非E在现场，D才在现场;

⑤D在现场。

问:公安机关根据上述情况能得出什么结论?

用符号表示简单命题如下:

A:A在现场。

B:B在现场。

C:C在现场。

D: D在现场。

E:E在现场。

推理如下：

①E→ ( A∧ C) P

② B→ A P

③ C∨B P

④ E→ D P

⑤D P

⑥E 4,5T

⑦ （ A∧ C） 1,6T

⑧A∨C 7T

⑨A→B 2T

⑩C→B 3T

⑪B 8,9,10T

结论：B在现场。

⑦