自然数幂求和公式_数学术语

自然数幂求和公式

数学术语

自然数幂求和公式，是李善兰先生提出的一种数列求和公式。它的提出在中国数学史上有重要地位。

概念

自然数幂求和公式是清朝数学家李善兰先生在他的著作《垛积比类》中提出的一种数列求和公式。

公式

公式具体内容:

式中L_{k}^{m}为《垛积比类》表七“乘方垛各廉表”中的系数，上标m表示m乘方垛的乘方次数，即横行序数，下标k为向项数。

推导

它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。

当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数

=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N

=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数

又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:

2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]

=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。

其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。（最终推导至李善兰自然数幂求和公式）

二项式定理推导：

阿贝尔变换推导：

生成函数法：

参考资料

最新修订时间：2024-04-23 15:53

条目作者

概述

概念

公式

推导

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