良基关系(well-founded relation)是一种特殊的二元关系，是良序关系中抽去全序的成分后获得的一种二元关系。设R为集合(或类)U上的一个二元关系，若U的每个非空子集均有R极小元，则称R为U上的一个良基关系，亦即R为U上的良基关系，当且仅当对U的每个非空子集x，存在x的元素y，使得对任何z∈U，〈z，y〉均不属于R。若U为集合，则称〈U，R〉为良基结构；若A为真类，通常要求U的每个元素关于R的初始段必须为一集合。良序关系一定为良基关系，反之则不成立。例如，在ZF公理系统中，由正则公理知，∈关系为集合论全域V上的良基关系，但不是良序关系。从直观上讲，被良基化的集合或类，可以通过其上的良基关系对其元素进行分层。事实上，若R为U上的一个良基关系，则可利用良基关系上的超穷递归原理定义U中每个元素x关于R的秩rank(x，U，R)=sup{rank(y，U，R)+1：yRx∧y∈U}。如果U可传，R=∈，则rank(x，U，∈)恰好为x的秩rank(x)。

良基关系是集合上的一种重要关系，它是策梅洛(E.F.F.Zermelo)于1935年提出的。设R是集合A上的一个关系，若A的任何非空子集B都有R极小元，则称R是A的良基关系。A是关于R的良基集，记为wfR(A)。A上的任何良序关系都是A上的良基关系，但A上的良基关系不一定是A上的良序关系。如果A对于关系R不但是良基的，而且是全序的，那么A是良序集，例如，自然数集{1，2，…}对小于关系既是良序的也是良基的，如果有限偏序集的哈塞图是有分叉的伪树(如图1)，则它是良基的但不是良序的。在良基集wfR(A)中，不存在无穷的单调递降序列

{an}n∈w：a0R-1a1R-1a2R-1a3R-1…

若定义良基集到序数集内一个映射fR：A→ord，使得当a∈A时，

fR(a)=sup{fR(b)+1|(b∈A∧bRa)}，

且fR的值域是一个序数，则fR是A到ord内的一个确定单调增映射。fR的值域称为R的长度，即

例图1中R的长度为6。

定理 —关系R为良基的的，当且仅当不存在具有定义域为ω的函数f，使得对于每一n∈ω，都有R(f(n+)，f(n))。

人们也称这一序列：

...,f(n+),f(n),...,f(1),f(0) (1)

为一降链，并且对于上述f，我们令

D：={f(n)|n∈ω} ， (2)

并称这一D为f|d(R)的一降链子集合。

证明：假定一关系R不是良基的，那么存在一非空集合S，它没有R极小!元素，亦即

直观地讲，因为S不空，任取 ，由(3)就有a1，使得；R(a1，a0)成立，又由于 ，由(3)就有 ，使得R(a2，a1)成立。这里可以取a2不同a0，因为由S中没有R的极小元，那么，S1=S-{a0}中也没有R极小元，把S1应用于(3)即得 ，把这—·过程无限地作下去，即得到下述无穷序列；

a0，a1，a2，... (4)

并且有：对于每一n∈ω，都有

或者记做

这样我们可以令：

由(5)与(6)，即得欲证结果。

反之，若存在一函数 ，我们令：

不难证明由(7)给出的集合S中没有R极小元。

，但是(3)并未给出去选择y的方案。也就是说可能有许多元甚至无穷多元y满足xRx，根据什么原则去挑选唯一的元素呢?人们已经证明仅在ZF系统中是不可能实现的，它要求使用选择公理，不过，这里仅需用选择公理的一种较弱的形式称之为依赖选择原则，它意味着允许人们依次进行ω次的选择。

依赖选择原则(Bernays，1942)：如果T是在不空集合S上的一个关系，使得对于每

一x∈S，都存在y∈S有T(x、y)，那么就存在一序列：

使得

成立。

现在我们令依赖选择原则中的T(x、y)为

据依赖选择原则，由(3)即可获得(4)。