范畴性(categoricity)是理论的某个基数的模型都同构的一种特性。设L为一可数语言，T是L中的完全理论。如果T恰有一个可数模型(在同构意义下)，则称T为ω范畴的。

范畴性(categoricity)是理论的某个基数的模型都同构的一种特性。设L为一可数语言，T是L中的完全理论。如果T恰有一个可数模型(在同构意义下)，则称T为ω范畴的。下列条件是等价的：

1.T是ω范畴的。

2.T有一模型U，它既是可数饱和模型，又是可数素模型。

3.对每一正整数n，L中每一个与T协调的型Γ(x1，x2，…，xn)中都含有对T完全的公式。

4.对每一正整数n，L中只有有限多个与T协调的型Γ(x1，x2，…，xn)。

5.对每一正整数n，在T下只有有限多个互不等价的公式φ(x1，x2，…，xn)。

6.T的每一模型都是原子模型。

设有语言L的理论T，如果某个基数α的所有模型都是同构的，则称该理论为α范畴的。如果一个理论T的所有模型都是同构的，则称该理论为范畴的。从范畴性的角度讨论，存在四类理论：

1.对每个无限基数都是范畴的。

2.ω范畴而对任意不可数基数k，非k范畴。

3.对每一不可数基数范畴而非ω范畴。

4.对每个无限基数都不是范畴的。

如果T是一个范畴理论，则T只可能有有限模型，范畴理论必为完全理论。

亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔(Cantor，G.(F.P.))之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x'，x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念。德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与英国数理逻辑学家罗素(Russell，B.A.W.)将集合的基数(势)定义为在等势关系下该集合所在的等价类。这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数。在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x|：

1.若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。

2.若不然，则定义|x|为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。

如果某个集合的基数是a，则如此定义的基数满足|x|=|y|，当且仅当x≈y。定义1是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(von Neumann，J.)于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔-伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数.因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数.对任意的序数α，存在大于α的最小良序基数，记为α。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得ᗄα<β((α)<(β))，式中读做“阿列夫”。还常用Nα代替(α)，表示第α个无穷良序基数，用ωα表示α的序型，故N0=Nω0=Nω，Nα+1=ωα+1=Nα。若α为极限序数，则Nα=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。Nα是极限基数，当且仅当α是极限序数。

两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。

建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射，并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。

同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题，从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。

指研究形式语言与其解释(模型)之间的相互关系的学科。它是一个年轻的学科，既属于数理逻辑发展的一个分支学科，又属于数学基础理论研究的一个分支学科。它的早期发展，取得了三个著名的成果：(1)勒文海姆定理。勒文海姆1905年证明，设σ是带等词的一阶逻辑中的语句(即不含自由个体变元的公式)，那么，由它具有无穷模型(即存在一个无穷结构μ，使得σ在μ上真，记作μ1=σ)，推出它具有可数模型。(2)紧致性定理。哥德1930年证明，如果∑为一可数，语言中的语句集合，那么，由∑在任意一个语句集合，那么，由∑的每个有穷子集合具有模型，可推出∑本身也具有模型。(3)莫利范畴性定理。莫利1965年证明，如果∑为一个不可数势上的范畴性可以推出∑在一切不可数势上的范畴性。这里所谓∑在一个势a上为范畴的，是指它的任意两个势为a的模型均是同构的。

模型论直到五年年代才成为一门单独的学科。近代数学，特别是抽象代数中提出的各种结构，如五阶巡环群、有理数域、所有由整数组成的各种集合以包含关系为序的偏数系统等都可以叫做模型或结构为对象、研究其同态、子模型(或子结构)、自由结构和直积等的学科叫做泛代数学。泛代数学与模型论的界线已不甚分明。一般认为，在泛代数学中用来刻划模型或结构的各种性质的语言并不是形式语言，如果采用形式语言并引用数理逻辑所获得的成果，则得到模型论。因此有如下的公式：泛代数学+逻辑学=模型论。特别有：泛代数学+带等词的一阶逻辑=经典模型论。

经典模型论是最基本的也是研究得最充分的模型论。它既是其他类型模型论的前提，又是象非标准分析这样一些方法应用的前提。1950年以来，在汉金、鲁滨逊及塔尔斯基等人的倡导下，模型论发展得非常快，并获得了广泛的应用。