莫比乌斯反演
数学术语
莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。
引入
莫比乌斯反演是数论中的重要内容，在许多情况下能够简化运算。我们考虑以下求和函数：
我们需要找到和之间的关系。从和函数定义当中，我们可以知道：
那么：
从中，可以看出，若(为质数)那么，，所以，.
如果我们要让函数满足：
那么通过以上推导，我们可以知道，所以我们作出以下猜测：
其中μ(d)成为莫比乌斯函数，定义如下：
①μ(1)=1
②μ(p1p2……pa)=(-1)^a，其中a个p为不同素数。
③其余情况μ(d)=0
定理
设 和 是定义在正整数集合上的两个函数,定义如下。
若函数满足：
则有
定理证明
充分性证明：
考虑到：
因此
必要性证明：
考虑到：
因此
函数
定义当时，
当（为不同的质数，且次数都为1），
其余情况
注意， 函数也为积性函数。证明略。
反演的性质
性质一（莫比乌斯反演公式）：
性质二：μ(n)是积性函数
性质三：设f是算术函数，它的和函数 是积性函数，那么 f 也是积性函数。
参考资料
最新修订时间：2024-05-21 11:48
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