董祐诚（1791—1823年），字方立，江苏常州人。少时家道中衰，生活困窘。嘉庆二十二年（1817 年）随兄客居北京前，曾广游天下，兴趣及至经史、地理学及数学等方面。居北京后，专攻数学，且著作不少，有《割圆连比例图解》3卷、《椭圆求周术》1卷、《斜弧三边求角补术》1卷、《堆垛求积术》1卷。去世后，其兄董基诚汇其遗稿，以《董方立遗书》之名刊刻出版。

董祐诚少年时于梅瑴成《赤水遗珍》书中读到杜氏三术，但惜其语焉不详。后由友人处抄得载有杜氏三术和明安图六术的所谓“杜氏九术全本”，乃深入探究，务求“立法之原”，乃成《割圆连比例图解》3卷这一董氏之代表作。他从成连比例的几何线段入手，研究全弧通弦和分弧通弦二者的关系，结果也发现全弧正矢和分弧正矢之间关系，并明确给出4个幂级数展开式，即所谓“立法之原”四术，可推出所谓“杜氏九术”。

董祐诚《割圆连比例图解》著成后，方得见明安图遗书抄本，由是始知两人方法相同而具体步骤有异。董氏还在研究中发现，分割次数无限增多，则弧与弧可相互转化。他把这种现象称为“方圆互通”。他的见解相当于微积分。

项名达在《象数一原》中推广了明安图和董祐诚(1791～1823)的椭圆求周术的结果。董祐诚同明安图

一样，也用连比例的方法讨论了全弧与分弧所对的弦的关系以及全弧和分弧的中矢（即该弧所张的弓形的高），得到四个幂级数公式。之后项名达进一步归纳为下列两个公式:设сn和сm分别为圆内某弧с的n倍和m倍

弧长，vn和vm分别为相应的中矢，r为圆半径，则有如图1所示的公式。

董祐诚（1791—1823），初名曾臣，字方立，江苏阳湖人，董基诚之弟。少年时工为骈体文词，继通数理、舆地之学。嘉庆举人。著有《兰石斋骈体文》一卷，《董方立遗书》十六卷，《栘华馆骈体文》甲集二卷、乙集二卷等传世。

刘大观《兰石斋骈体文》序

余于乾隆年间诗人，独推许武进[1]黄仲则[2]。入都，与内阁学士翁覃溪[3]先生论仲则诗，洽于所见，遂以覃溪删定五百首刊于京师，令海内躭吟之士，知昆陵有此人，而其人有此磊落轩昂之笔。是时，昆陵之宦于都下者，有洪编修[4]稚存[5]、孙部曹[6]渊如[7]、赵舍人[8]味辛[9]，皆与予善。花晨月夕，作文字饮。每饮辄叹息仲则丰于文藻，而啬于遇合，卒客死于饥驱。予《题仲则集后》云：“不知造物有何亲？独将此笔与此人！不知造物有何恨？独使斯人受奇困！”覃溪先生赏之，以为仲则不死。

今阳湖[10]董君方立[11]，亦昆陵后起之秀也。戊寅（1818）赴北闱，以第四人获隽试春官。数见黜，年逾三十，遽捐馆[12]舍，遗《兰石斋》骈体文二十五首。其同年友方子彦闻刊于怀庆，盖怜其才，不忍使其笔精墨髓与昂藏七尺躯同埋没于人间世也。

予观其集中诸作，有以纵横恣肆写其襟臆之超旷者，有以酸楚悲凉写其平生抑郁牢骚者。其超旷得之于天，其抑郁牢骚厄之于境。厄于境，如骅骝騄駬负重危途，昂首一鸣，聊以舒其傲岸不平之气。气竭，而精华亦为之萧索，此其所以不寿也。

或谓：“古来之工于衡文者，莫如玉溪生[13]之《论元漫叟[14]》，如‘太虚无状，大贲无色，寒暑攸出，鬼神有职’[15]。方立集中有是耶？”

曰：“无！”

曰：“若以一国换人一笑，若以万世换人一朝[16]，方立集中有是耶？”

曰：“无！”

曰：“玉溪所云：‘笔力所不到’，彦闻奚以刊之乎？”

曰：“子不闻‘若大压然，不知其兴；若大醉然，不知其醒。重屋深宫，但见其脊，牵綷长河，不知其载’乎？若是者，方立集中悉有之，亦难能而可贵者也。夫骈体文非制艺所需，热中于科第者率皆不暇为，亦不能为。方立于人所不能为而为之，其自命为何如耶？闻方立所著有《长安志》三十卷、《〈水经注〉疏证》三卷。及天文、历术、算数、古今舆地沿革，皆精于研索，足以追配古人。或有古人之所疏，而方立密之；古人所涉者浅，而方立独深。呜呼！杰矣！彼光韬秘枕未出以问世者，皆其肊膏心液所凝炼，而抵死方休者也！安得文字之交复有慷慨如彦闻者，以尽发其底蕴乎？”

[1]武进：市名。在江苏省常州市郊，长江、太湖和滆湖之间。

[2]黄景仁（1749—1783），清诗人。字汉镛，一字仲则，号鹿菲子，江苏武进人。家贫，早年奔走四方，以谋生计。后捐为县丞，未补官而卒。诗学李白，所作多抒发穷愁不遇、寂寞凄怆的情怀，也有愤世嫉俗的篇章。七言诗较有特色。亦能词。有《两当轩全集》。

[3]翁方纲（1733—1818），清书法家、文学家、金石学家，字正三，号覃溪，晚号苏斋，直隶大兴（今北京市）人。官至内阁学士。著有《两汉金石记》《汉石经残字考》《焦山鼎铭考》《苏米斋兰亭考》《复初斋诗集》《复初斋文集》《石洲诗话》等。

[4]编修：官名。明清之翰林院编修，以一甲二三名进士及庶吉士之留馆者充任，无定员，亦无实际职务。

[5]洪亮吉（1746—1809），清经学家，文学家。字君直，一字稚存，号北江，江苏阳湖（治今常州）人。著有《春秋左传诘》、《洪江北全集》。

[6]部曹：明清对各部司官的通称。

[7]孙星衍(1753-1818)，清代藏书家、目录学家。字渊和，号伯渊。阳湖(今江苏武进)人。少年时与杨芳灿、洪亮吉、黄景仁以文学见长，袁枚称他为“天下奇才”。于经史、文字、音训、诸子百家，皆通其义。乾隆五十二年(1787)进士，授翰林院编修，充三通馆校理。乾隆六十年(1795)授山东兖沂曹济道，次年补山东督粮道。嘉庆十二年(1807)任山东布政使。博极群书，勤于著述。阮元曾聘他为“诂精经舍”教习及主讲钟山书院，以学术渊博称。性嗜聚书，闻人藏有善、秘本，借抄无虚日。金石文字拓本，古鼎彝书画，无不考其源委。家有藏书楼“平津馆”，贮书极富，以校勘精审见称．编撰有《孙氏家藏书目》，分外编3卷、内编4卷。《廉石居藏书记》1卷、《平津馆鉴藏书籍记》3卷，续编1卷，补遗1卷。嘉庆五年(1800)，刊行《祠堂书目》。辑刊文献甚多，嘉庆中刻有《岱南阁丛书》、《平津馆丛书》。《岱南阁丛书》主要收集自著诗文集和校订的《古文尚书》《孙子》和地理，刑律方面的古籍。《平津馆丛书》10集32种，主要为辑校的诸子、医学、历史等方面的古籍，选择精严，校勘精审。著述宏富，有《尚书今古文注疏》《寰宇访碑录》《周易集解》《考注春秋别典》《尔雅广雅训诂韵编》《晏子春秋音义》《金石萃编》《史记天官书考证》《建立伏博士始末》《明堂考》《续古文苑》《平津馆文稿》《芳茂山人诗录》《仓颉篇》等。

[8]舍人：明清时于内阁中的中书科，设有中书舍人，其职责仅为缮写文书。

[9]赵怀玉（1747—1823），字亿孙，号味辛，又字印川，江苏武进人。乾隆三十年（1765）春，高宗四巡江、浙，奏赋行在。四十五年，又南巡，召试，赐举人，授内阁中书。出为山东青州府海防同知，署登州、兖州知府。丁父忧归，遂不复出。李廷敬延葺《宋辽史详节》，阮元、伊秉绶复延《葺扬州图经》。后主通州石港讲席六年，诸生极爱戴之。怀玉性坦易，工古文词；诗与孙星衍、洪亮吉、黄景仁齐名，时称“孙、洪、黄、赵”。著有《亦有生斋文集》五十九卷，续集八卷并行于世，见《清史列传》。

[10]阳湖：今江苏常州。

[11]董祐诚（1791—1823），初名曾臣，字方立，江苏阳湖人，董基诚之弟。少年时工为骈体文词，继通数理、舆地之学。嘉庆举人。著有《兰石斋骈体文》一卷，《董方立遗书》十六卷，《栘华馆骈体文》甲集二卷、乙集二卷等传世。

[12]捐馆：捐弃所居之馆舍。旧时因以为死亡的讳辞。

[13]李商隐（813-858），字义山，号玉溪生，又号樊南生，唐怀州河内（今沁阳）人。

[14]元结(719—772)，唐代文学家。字次山，号漫叟、聱叟 。河南鲁山人。

[15] 李商隐《元结文集后序》云：“次山之作，其绵远长大，以自然为祖，元气为根，变化移易之。太虚无状，大贲无色，寒暑攸出，鬼神有职。……若大压然，不觉其兴；若大醉然，不觉其醒。其疾怒急击，快利劲果，出行万里，不见其敌。……死而更生，夜而更明，衣裳钟石，雅在宫藏。其正听严毅，不滓不浊，如坐正人，照彼佞者。……其总旨会源，条纲正目，若国大治，若年大熟。……吁！不得尽其极也。而论者徒曰次山不师孔氏为非。呜呼，孔氏于道德仁义外有何物？百千万年，圣贤相随于涂中耳。”

[16] 李商隐《唐容州经略使元结文集后序》：“其详缓柔润，压抑趋儒，如以一国买人一笑，如以万世换人一朝。”

董祐诚，字方立，初名曾臣，江苏阳湖人。

幼颖异，末弱冠已与兄基诚腾踔士林。举嘉庆戊寅顺天乡试。

既负经世才，衣食奔走，足迹半中国。凡夫山川形势，政治利弊，采览所及，历历识之不忘。少时，喜为沈博绝丽之文。稍长，更肆力于律历舆地名物诸学。涉猎益广，致力著述。尤善深沉之思，书之号钩棘难读者，过眼无不通晓。复为出新意，阐隐曲，补罅漏。专门名家殚数十年之功而探索者，晨夕间已突然上之。尝取西士杜德美圆径求周诸术反复推解，知即圆容十八觚之术，引伸类长，求其累积，实兼差分之列衰，商功之堆垛，而会通以尽匀股之变。乃为分图著解，并立弦矢互求四术，成《割圆连比例术图解》三卷。斜弧三边求角，薛仪甫、梅文穆二家义法未显，知此术之专为对数立也，因别为图解，更补求又一角术，成《补术》一卷。知椭圆如纵方，精圆有大径有小径有周有积，必知其二，然后可求其馀，犹纵方之勾股形，成《椭圆求周术》一卷。得求诸乘方所成之方锥堆术，复以纵方堆推之，而得诸乘方所成之纵方谁术，成《堆垛求积术》一卷，又以钱大昕《三统术衍》虽详核，然于创术之原犹欠具备，为依太初元年日月五步比而列之，入以演撰之法，成《衍补》一卷。

惟素矜抱负，本欲有所施于世，特以偏曲一节著，非其志也。董故世胄，值中否，及三试礼部报罢，意不能无拂郁；又所业卒隐赜深微之书，读之疲神，虽精慧过人，而用之无度，坐是卒就衰耗，年仅三十三，中道奄然，论者惜之。他著尚有《水经注图说》残稿四卷，文甲集二卷，乙集二卷，《兰石词》一卷。