假定函数f1(z)与f2(z)分别在区域D1与D2中解析，D1与D2有一公共部分，在其上f1(z)=f2(z)成立。于是将f1(z)与f2(z)在D1及D2内的全体点上的数值集合看成一个解析函数f(z)，则f(z)在D=D1+D2中解析，在D1中f(z)=f1(z)，而在D2中f(z)=f2(z)。

假定函数 与 分别在区域 与 中解析， 与 有一公共部分，在其上 成立，于是将 与 在 及 内的全体点上的数值集合看成一个解析函数 ，则 在 中解析，在 中 ，而在 中 。

函数 可以看成由拓展 的定义区域所得，故称它为 的解析延拓。当然，根据同样理由， 是 的解析延拓，这种拓展原给函数定义的方法称为解析延拓。

欲使这个方法有意义，必须在适当条件下由它只能得出唯一的结果，以后我们将要证明它确实如此，在给出它的证明以前，先提一下，如果对单元实函数定义类似的方法，将会遇到怎样的困难。

设在 中， ，人们自然会建议用此公式将 的定义拓展到其他 上。但困难在于两个不同的公式可能在某一区间中表同一函数，而在另一区间中却表不同的函数，并且也没有明显的理由来决定究竟哪个公式才为“正当”。例如在 中，上面的函数也可用级数

表示；但若以此级数的和定义函数，我们看到，它在区间 中的值等于 。

这个级数并不一致收敛，但即使对一致收敛级数，同样的事情也会发生，例如级数

在一包含 的区间中一致收敛；倘若利用它把级数的和从正 延拓到负 ，便得到并非希望的结果，即 的延拓为 。

解析函数往往最初只在平面的某一限制区域中有定义，延拓的原则使我们能够定义一个与它所在定义的任何特殊区域都无关的解析函数，它由原始函数与原始函数的全体延拓以及这些延拓的全体延拓等等组成。这样我们就有可能在全体 上定义函数 ，或者使它在某些特殊点外的任何点上都有定义，或者只在平面的某一限制区域中有定义，而再不能越出它的范围。在最后的情形中，称区域为函数的存在区域，它的边界称为函数的自然边界，对于多值函数的情形，我们将在某些z上或在全体z上得到函数的多个不同数值。

初看起来，这个定义依赖于我们所由开始的函数的特殊定义，但因两个互为延拓的函数间的关系是可逆的，因此全部这种过程都可颠倒过来，故此定义实际上与任何特殊出发点都无关。

延拓的标准方法就是幂级数方法，假定我们从级数

出发，它在圆 中收敛。在圆中任取一个不同于a的点b，算出 与各阶导数 的数值，就得到函数关于 乘幂的展开式。这个级数在任何以b为圆心并且完全落在原来圆内的圆中都一定收敛，它也可能在一个更大的圆中收敛，从而提供了函数的一个解析延拓，因此整个函数就可通过幂级数而构成。每一幂级数，或者与它等价的每组数值 称为函数的元素。

下面的定理说明了以这种特殊方法作为标准方法的理由，用任何延拓方法得到的函数值也能通过幂级数方法得到。

命C为一连接点z=a与z=b的围道，沿着这条围道，我们已经用某种方法延拓了 ，即我们有一列公式，这些公式在区域列 中定义了 ，而 具有次之性质：( i ) C的每一点都是一个或多个Dn的内点；( ii )相继的 互相交叠，而在公共部分上， 的不同定义有相同的值。

我们要用幂级数方法实现此同一过程，即要在C上找一列点 使在列中每一点上的收敛圆都包含下一点，并且用幂级数方法所得的值与用其他方法得到的相同。又用此方法，经过有限多步一定能够达到b。

对于C上每一点z，都有一正收敛半径 与之结合，并且 是z的连续函数，若 为相邻二点，并以 与 表相应的收敛半径，命 。因为 在以 为心、 为半径的圆中正则，所以由柯西一泰勒定理得出

若 ，用同样方法，但将 与 对换，我们得到

即

因为与 相反的就是 所以无论如何，(2)恒成立。将(1)与(2)联在一起，就证明了当 时有 ，这就是需要的结果。

因为 连续，所以它一定能取得下确界；又因它恒正，所以它的下确界一定是正数，设此下确界为 。

我们从 上的幂级数出发，命 为沿围道与a距离等于 的点，它落在a点处的收敛圆内，故能将函数展成 的幂级数，新的收敛半径至少为 ，所以又能达到沿曲线与a距离 的点 ，照此方法继续进行，很明显地，经过有限次后一定能到达b。至于用这方法得到的 b上的数值与用其他方法得到的相等的事实可由一般的唯一性定理推出。