调和级数，数学术语，是各项倒数为等差数列的级数，各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名。

调和级数是各项倒数为等差数列的级数，通常指项级数

各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。

推而广之，具有这种性质的每一个级数，即形如

的级数也称为调和级数，其中 a,d 是常数. 调和级数是发散的，但其部分和

增长极慢。

欧拉 (Euler,L.) 计算过与是等价无穷大，更准确地，有，其中 C=0.577 215... 是欧拉常数，。这是欧拉于1740 年发现的，更一般地，级数

称为广义调和级数，亦简称调和级数，它的通俗名称是 p 级数，当 p>1 时收敛，p

定义1：正整数的倒数组成的数列，称为调和数列。

定义2：若数列满足（n∈N*，d为常数），则称数列调和数列。

调和数列的前n项和不是整数

对任意正整数n∈N，有不是整数。

证明：若不然，则令（k∈Z）。考察正整数，使得，由整数的唯一分解性，对任意整数有，其中（事实上当且仅当时等号取得，若不然则有）。令为1—n最小公倍数，则有为偶数（因为B中显然有因子2），但为奇数（因为B中最多只有个因子2），为偶数（因为）。故有为奇数但为偶数，矛盾！所以假设不成立，非整。

调和级数发散

人们已经研究调和数列已经几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式（当n很大时）：

（称作欧拉常数，专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数）

人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式。但是，不是因为它是发散的，才没有求和公式。相反的，例如等差数列是发散的，公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的，它们都有求和公式。

当时

这个级数是发散的。简单的说，结果为

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用高中知识也是可以证明的，如下：

对于任意一个正数，把分成有限个，必然能够找到，使得

所以时，

（由也可证明）。